Задача 35765 Найдите указанные неопределенные...
Условие
Решение
Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)
Тогда подынтегральная дробь(1/(x^3+8)) раскладывается на две дроби
(1/(x^3+8)) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)
Приводим правую часть к общему знаменателю
Получим две дроби с равными знаменателями равны.
Приравниваем числители:
1= A*(x^2 -2x+4)+(Mx+N)(x+2)
1=Ax^2-2Ax+4A+Mx^2+Nx+2Mx+2N
1=(A+M)x^2+(N+2M-2A)+4A+2N
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^2
0=A+M
при x
0=N+2M-2A
при x^0
1=4A+2N
M=-A
N=(1-4A)/2
и подставляем в среднее
0=(1-4А)/2 - 2A-2A
1-4A=8A
A=1/12
M=-1/12
N=1/3
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫ dx/(x^3+8)=∫ - (8/12)*(1/(x+2)) - 8*((-x/12)+(1/3))/(x^2-2x+4))dx=
= [b] - (2/3)ln|x+2| +(8/24) ln|x^2-2x+4| -(8/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))+С
[/b]
- о т в е т
Как считали последний интеграл:
Выделяем полный квадрат в знаменателе последней дроби:
x^2-2x+4=(x^2-2х+1)+3=(x-1)^2 +3
∫ ((-x/12)+(1/3))dx/(x^2-2x+4)= -(1/12) ∫(x-4)dx/)((x-1)^2+3)
Замена
x-1=u
dx=du
x= u +1
=(-1/12)∫ (u+1-4)du/( u^2+3)=
=(-1/12)*(1/2)∫2udu/(u^2+3)+(3/12)*∫ du/( u^2+3)
=(-1/24)ln |u^2+3|+(1/(4sqrt(3)))arctg(u/sqrt(3))
=(-1/24) ln|x^2-2x+4| +(1/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3)) + С