Δf=f(x_(o)+ Δx) - f(x_(o)) = -ctg(x_(o)+ Δx) - (x_(o)+ Δx) - -ctgx_(o) - x_(o)
Δf/ Δx=[b] -[/b] (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)
По определению:
f`(x_(o))=lim_( Δx→0) Δf/ Δx=
=lim_( Δx→0) - (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)
Минус можно вынести за знак предела
Предел суммы равен сумме пределов.
Второе слагаемое имеет предел равны 1
=lim_( Δx→0)( Δx) / ( Δx)=1
Поэтому проблемы только с первым слагаемым
неопределенность (0/0)
lim_( Δx→0) (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o))) / ( Δx)
Применяем формулу разности котангенсов ( см. приложение)
= - lim_( Δx→0) (sin(x_(o)+ Δx-x_(o)) /( ( Δx)*sin(x_(o)+ Δx)*sin(x_(o)))
=
=-1/sin^2x_(o)
Итак,
f`(x_(o))=-( (-1/sin^2x_(o)) +1) = (1/sin^2x_(o)) - 1
Так как х_(о) - произвольная точка, то равенство верно для любой точки х
О т в е т.f`(x)= (1/sin^2x) - 1