Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 32204 Исходя из определения производной, не...

Условие

Исходя из определения производной, не пользуясь формулами дифференцирования, найти производную функции y=-ctgx-x

математика 2166

Решение

f(x_(o)+ Δx)= -ctg(x_(o)+ Δx) - (x_(o)+ Δx)

Δf=f(x_(o)+ Δx) - f(x_(o)) = -ctg(x_(o)+ Δx) - (x_(o)+ Δx) - -ctgx_(o) - x_(o)


Δf/ Δx=[b] -[/b] (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)

По определению:

f`(x_(o))=lim_( Δx→0) Δf/ Δx=

=lim_( Δx→0) - (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)
Минус можно вынести за знак предела

Предел суммы равен сумме пределов.
Второе слагаемое имеет предел равны 1
=lim_( Δx→0)( Δx) / ( Δx)=1


Поэтому проблемы только с первым слагаемым


неопределенность (0/0)

lim_( Δx→0) (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o))) / ( Δx)

Применяем формулу разности котангенсов ( см. приложение)

= - lim_( Δx→0) (sin(x_(o)+ Δx-x_(o)) /( ( Δx)*sin(x_(o)+ Δx)*sin(x_(o)))
=

=-1/sin^2x_(o)

Итак,
f`(x_(o))=-( (-1/sin^2x_(o)) +1) = (1/sin^2x_(o)) - 1

Так как х_(о) - произвольная точка, то равенство верно для любой точки х


О т в е т.f`(x)= (1/sin^2x) - 1




Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК