Задача 37130 Вычислить площадь фигуры, ограниченной...

nashipitsina

16 мая 2019 г. в 17:54

Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой (x²+y²)²=2xy

sova

16 мая 2019 г. в 18:30

Переход к полярным координатам
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

x²+y²=ρ ²

Уравнение кривой принимает вид:


(ρ ²)²=2·ρ cos φ · ρ sin φ

или

ρ ²=2 cos φ ·sin φ

ρ ²=sin2φ


S= ∫ ∫ _Ddxdy=4∫ ∫_D1dxdy=

D₁:
0 < ρ < √sin2φ

0 < φ <( π/4)

=4· ∫ ^π/4₀( ∫ ^{√sin2 φ ₀}ρd ρ )d φ =

считаем внутренний интеграл

=4· ∫ ^π/4₀( ρ²/2))|^{√sin2 φ ₀}d φ =

=2· ∫ ^π/4₀sin2 φ d φ =

=2·(1/2)(–cos2 φ)| ^π/4₀=

=(–cos(π/2)+cos0)= 1