Задача 37130 Вычислить площадь фигуры, ограниченной...

nashipitsina

2019-05-16 17:54:47

Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой (x^2+y^2)^2=2xy

sova

2019-05-16 18:30:40

Переход к полярным координатам
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

x^2+y^2=ρ ^2

Уравнение кривой принимает вид:


(ρ ^2)^2=2*ρ cos φ * ρ sin φ

или

ρ ^2=2 cos φ *sin φ

ρ ^2=sin2φ


S= ∫ ∫ _(D)dxdy=4∫ ∫_(D_(1))dxdy=

D_(1):
0 < ρ < sqrt(sin2φ)

0 < φ <( π/4)

=4* ∫ ^(π/4)_(0)( ∫ ^(sqrt(sin2 φ )_(0))ρd ρ )d φ =

считаем внутренний интеграл

=4* ∫ ^(π/4)_(0)( ρ^(2)/2))|^(sqrt(sin2 φ )_(0))d φ =

=2* ∫ ^(π/4)_(0)sin2 φ d φ =

=2*(1/2)(-cos2 φ)|^( π/4)_(0)=

=(-cos(π/2)+cos0)= [b]1[/b]