Задача 31451 1. Найти ниже перечисленные элементы...

vk101266723

2018-12-01 11:27:53

1. Найти ниже перечисленные элементы треугольника, если заданы уравнения его сторон:

АС: х - 2у -1 = 0, АВ: х + 2у + 3 = 0, ВС: 2х + у+18 = 0.

а) координаты вершин треугольника;

б) длину стороны АВ и ее уравнения: каноническое, параметрические и с угловым коэффициентом;

в) уравнение высоты СН;

г) уравнение медианы СМ;

д) уравнение биссектрисы CD;

е) координаты точки О-точки пересечения медиан;

ж) внутренний угол В.

2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, указать элементы этой кривой и построить ее.

х^2 - 2у^2 -2х + 3у = 0.

sova

2018-12-02 09:26:26

1.
a)
Решаем системы
{x-2y-1=0
{x+2y+3=0
Cкладываем
2x+2=0
x=-1
y=(x-1)/2=-1
[b]A(-1;-1)[/b]
{x-2y-1=0
{2x+y+18=0
Умножаем первое на (-2)
{-2x+4y+2=0
{2x+y+18=0
Cкладываем
5y+20=0
y=-4
x=2y+1=2*(-4)+1=-7
[b]C(-7;-4)[/b]

{x+2y+3=0
{2x+y+18=0
Умножаем первое на (-2)
{-2x-4y-6=0
{2x+y+18=0
Cкладываем
-3y+12=0
y=4
x=-2y-3=-2*4-3=-11
[b]B(-11;4)[/b]

б)
Каноническое дано в условии.
Уравнение прямой как прямой проходящей через две точки А(-1;-1) и В(5;4) имеет вид:
[b](x-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))[/b]

(x+1)/(-11+1)=(y+1)/(4+1);
(x+1)/(-2)=(y+1)/1

Обозначим это отношение буквой t
(x+1)/(-2)=(y+1)/1 = t
получаем
(х+1)/(-2)=t
x=-2t-1
y=t-1
Параметрические уравнения прямой АВ
{х= - 2t - 1
{y= t - 1

Выразим у через х
2y=-x-3
y=(-x-3)/2
у=(-1/2)х - (3/2) - уравнение прямой AB с угловым коэффициентом k
k=(-1/3)

|AB|=sqrt((x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2)=sqrt((-2)^2+1^2)=sqrt(5)

в)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1
СН ⊥ АВ
k_(AB)=(-1/3)
k_(CH)=3

y=3x+b - уравнение прямых, перпендикулярных АВ
Подставляем координаты точки С
-4=3*(-7)+b
b=17
[b]y=3x+17[/b] - уравнение высоты СН

г) x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2=(-1+5)/2=2;
y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2=(-1+4)/2=3/2

Уравнение медианы СМ как прямой проходящей через две точки:

(x+7)/(2+7)=(y+4)/((3/2)+4);
(x+7)/9=(y+4)/(11/2)
(11/2)*(x+7)=9*(y+4)
[b]11x-18y+5=0[/b] - уравнение медианы СМ

д)
По свойству биссектрисы угла треугольника
AD:DB=AC:CB
|AC|=sqrt(-6)^2+(-3)^2)=sqrt(45)=3sqrt(5)
|BC|=sqrt((4)^2+(-8)^2)=sqrt(80)=4sqrt(5)

AD:DB=3:4
λ =3/4

Находим координаты точки, как точки делящей отрезок в данном отношении

x_(D)=(x_(A)+ λx_(B))/(1+λ)= (-1+(3/4)(-11))/(1+(3/4))= -37/7

y_(D)=(y_(A)+λ y_(B))/(1+λ)=(-1+(3/4)*(-8))/(1+(3/4))= -4

Уравнение биссектрисы CD

[b]y=-4[/b]


e)
x_(O)=((x_(A)+x_(B)+x_(C))/3=-1
y_(O)=((y_(A)+y_(B)+y_(C))/3=-1/3

ж)
По формуле:
cos ∠ B=vector{BA}*vector{BC}/|vector{BA}|*|vector{BC}|

vector{BA}=(10;-5)
vector{BC}=(4;-8)
|vector{BA}|=sqrt(10^2+(-5)^2)=sqrt(125)=5sqrt(5)
|vector{BC}|=sqrt(16+64)=4sqrt(5)

cos ∠ B=(10*4+(-5)*(-8))/5sqrt(5)*4sqrt(5)=80/100=0,8

∠ B= arccos0,8

2.
Выделяем полные квадраты:
(x^2-2x)-(2y^2-3y)=0
(x^2-2x+1)-1 - 2*(x^2-2y*(3/4)+(3/4)^2)-(3/4)^2=0
(x-1)^2-2*(y-(3/2))^2=25/16
Делим на (25/16)
(x-1)^2/(25/16) - (y-(3/2)^2)/(25/32)=1
каноническое уравнение гиперболы вида
(x`)^2/(25/16)- (y`)^2/(25/32)=1
с центром в точке О`(1;3/4)
a=5/4
b=5sqrt(2)/8
см. рис.