Задача 26945 4.36) (3-ctg^2x)sin2x = 2(1+cos2x)...
Условие
Решение
х≠ Pis, s ∈Z
Так как
ctg^2x+1=1/sin^2x ⇒
ctg^2x=(1/sin^2x)-1
(3–ctg^2x)sin2x = 2(1+cos2x)
(4-(1/sin^2x))*sin2x=2*(1+cos2x)
Заменим (1+cos2x)=2cos^2x
((4sin^2x-1)*2sinx*cosx)/(sin^2x) -4cos^2x=0
Приводим к общему знаменателю
В условиях ОДЗ приравниваем к нулю только числитель
(4sin^2x-1)*2sinx*cosx -4cos^2x*sin^2x=0
2sinx*cosx*(4sin^2x-1-2sinx*cosx)=0
sinx ≠ 0 х≠ Pis, s ∈Z
cosx=0 ⇒ [b]x=(Pi/2)+Pik, k∈Z[/b]
ИЛИ
4sin^2x-1-2sinx*cosx=0 - однородное тригонометрическое уравнение второй степени
1=sin^2x+cos^2x
3sin^2x-2sinx*cosx-cos^2x=0
Делим на cos^2x≠ 0
3tg^2x-2tgx-1=0
D=4+12=16
tgx=1 или tgx=-1/3
[b]х=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z[/b] или [b] x=arctg(-1/3)+Pim, m ∈ Z[/b]
Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
[b]x=(Pi/8)+(Pi/2)k, k ∈ Z[/b] или [b]x=(Pi/4)+(Pi/2)n, n ∈ Z[/b]
О т в е т.
x=(Pi/2)+Pik, k∈Z
х=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z
x= - arctg(1/3)+Pim, m ∈ Z