Задача 26945 4.36) (3-ctg^2x)sin2x = 2(1+cos2x)...

slava191

30 апреля 2018 г.

4.36) (3–ctg²x)sin2x = 2(1+cos2x)

SOVA

5 января 2018 г. в 00:00

★

ОДЗ
х≠ πs, s ∈Z

Так как
ctg²x+1=1/sin²x ⇒
ctg²x=(1/sin²x)–1

(3–ctg²x)sin2x = 2(1+cos2x)
(4–(1/sin²x))·sin2x=2·(1+cos2x)
Заменим (1+cos2x)=2cos²x
((4sin²x–1)·2sinx·cosx)/(sin²x) –4cos²x=0
Приводим к общему знаменателю
В условиях ОДЗ приравниваем к нулю только числитель
(4sin²x–1)·2sinx·cosx –4cos²x·sin²x=0

2sinx·cosx·(4sin²x–1–2sinx·cosx)=0

sinx ≠ 0 х≠ πs, s ∈Z

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k∈Z

ИЛИ

4sin²x–1–2sinx·cosx=0 – однородное тригонометрическое уравнение второй степени
1=sin²x+cos²x

3sin²x–2sinx·cosx–cos²x=0
Делим на cos²x≠ 0

3tg²x–2tgx–1=0
D=4+12=16
tgx=1 или tgx=–1/3

х=(π/4)+πn, n ∈ Z или x=arctg(–1/3)+πm, m ∈ Z

Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
x=(π/8)+(π/2)k, k ∈ Z или x=(π/4)+(π/2)n, n ∈ Z

О т в е т.
x=(π/2)+πk, k∈Z
х=(π/4)+πn, n ∈ Z
x= – arctg(1/3)+πm, m ∈ Z