Задача 34764 Решите неравенство log2(8x^2) + 2log2x...

vk411719339

2019-03-21 17:58:02

Решите неравенство

log2(8x^2) + 2log2x + 12 ...

sova

2019-03-21 18:12:22

ОДЗ:
{8x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x>0
{x/2 > 0 ⇒ x>0

[b](0;+ ∞ )[/b]

Так как
log_(2)(8x^2)=log_(2)8+log_(2)x^2=
=3+2log|x|=(согласно ОДЗ: x>0 и |x|=x)=3+2logx

log_(2)(x/2)=log_(2)x-log_(2)2=log_(2)x-1
log^2_(2)(x/2)=(log_(2)x-1)^2=log_(2)x-2log_(2)x+1

Замена переменной
log_(2)x=t

Неравенство принимает вид:
(3+2t+2t+12)/(t^2-2t+1-16) ≥ -1;

(4t+15)/(t^2-2t-15) + 1 ≥ 0

(4t+15+t^2-2t-15)/(t^2-2t-15) ≥ 0

(t^2+2t)/(t^2-2t-15) ≥ 0

t^2+2t=t*(t+2)

t^2-2t-15=(t+3)(t-5)
D=4+60=64
корни (-3) и 5

Решаем методов интервалов

_+__ (-3) _-__ [-2] __+_ [0] __-__ (5) __+__

t < -3 или -2 ≤ t ≤ 0 или t > 5

Обратный переход

log_(2)x < -3 или -2 ≤log_(2)x ≤ 0 или log_(2)x> 5

log_(2)x <log_(2)(1/8) или log_(2)(1/4) ≤log_(2)x ≤ log_(2)1 или log_(2)x> log_(2)32

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

x <1/8 или 1/4 ≤log_(2)x ≤1 или x> log_(2)32

С учетом ОДЗ получаем ответ.
[b](0;1/8) U [1/4;1] U (32;+ ∞ )[/b]