Задача 46385 ...

tupiza

2020-04-08 12:55:21

log_(x+7)((3-x)/(x+1))^(2) ≤ 1-log_((x+7))((x+1)/x-3))

sova

2020-04-08 13:32:22

★

Во- первых,

дроби [m]\frac{x-3}{x+1}[/m] и [m]\frac{x+1}{x-3}[/m]

взаимно обратны


[m]\frac{x+1}{x-3}= (\frac{x-3}{x+1})^{-1}[/m]


Во -вторых

(3-x)^2=(x-3)^2

Неравенство принимает вид:

[m]log_{x+7}(\frac{x-3}{x+1})^2 ≤ 1–log_{x+7}(\frac{x-3}{x+1})^{-1}[/m]

Применяем свойство логарифма степени:

[m]2log_{x+7}|\frac{x-3}{x+1}|≤ 1+log_{x+7}\frac{x-3}{x+1}[/m]

Учитывая, что справа под знаком логарифма должно быть положительное выражение, можно раскрыть выражение с модулем справа.


[m]\left\{\begin{matrix} \frac{x-3}{x+1}>0 & & \\ & & \\ 2log_{x+7}\frac{x-3}{x+1}≤ 1+log_{x+7}\frac{x-3}{x+1} & & \end{matrix}\right.[/m]

так как [m]1=log_{x+1}(x+7)[/m]


[m]\left\{\begin{matrix} \frac{x-3}{x+1}>0 & & \\ & & \\ log_{x+7}\frac{x-3}{x+1}≤ log_{x+7}(x+7) & & \end{matrix}\right.[/m]



[red]Если[/red]
x+7 > 1 логарифмическая функция возрастает и тогда второе неравенство принимает вид:

[m]\frac{x-3}{x+1}≤(x+7)[/m]

[red]Если[/red]
0 <x+7 <1 логарифмическая функция убывает и тогда второе неравенство принимает вид:
[m]\frac{x-3}{x+1} ≥ (x+7)[/m]



Получаем совокупность двух систем:

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{x-3}{x+1}>0 & & \\ x+7 > 1 & & \\ \frac{x-3}{x+1} \leq(x+7) & & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}\frac{x-3}{x+1}>0 & & \\ 0<x+7 < 1 & & \\ \frac{x-3}{x+1} \geq(x+7) & & \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x < -1; x> 3 & & \\ x >-6 & & \\ \frac{x-3-(x+1)(x+7)}{x+1} \leq0 & & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}x < -1; x > 3 & & \\ -7<x<-6 & & \\ \frac{x-3-(x+1)(x+7)}{x+1} \geq0 & & \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x < -1; x> 3 & & \\ x >-6 & & \\ \frac{-x^2-7x-10}{x+1} \leq0 & & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}x < -1; x > 3 & & \\ -7<x<-6 & & \\ \frac{-x^2-7x-10}{x+1} \geq0 & & \end{matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin{matrix} x < -1; x> 3 & & \\ x >-6 & & \\ \frac{(x+2)(x+5)}{x+1} \geq0 & & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}x < -1; x > 3 & & \\ -7<x<-6 & & \\ \frac{(x+2)(x+5)}{x+1} \leq0 & & \end{matrix}\right.[/m]

_[green]-[/green]___ [ -5] __[red]+[/red]__ [-2] __[green]-[/green]__ (-1) __[red]+[/red]__

[m]\left\{\begin{matrix} x < -1; x> 3 & & \\ x >-6 & & \\-5 \leq x \leq -2; x> -1 & & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}x < -1; x > 3 & & \\ -7<x<-6 & & \\x \leq -5; -2 \leq x \leq -1 & & \end{matrix}\right.[/m]

ответ первой системы: [-5;-2]U(3;+ ∞ ); ответ второй (-7;-6)

О т в е т.[b] (-7;-6) U[-5;-2] U(3;+ ∞ )[/b]