Задача 37565 ...

u21324132111

2019-05-25 16:54:24

Вычислить двойной интеграл ∫ ∫_(D) (x^2+y^2)^2dxdy, где D:x^2+y^2 ≤ 4

sova

2019-05-25 19:34:40

★

Вводим полярные координаты:
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
x^2+y^2= ρ ^2*(cos^2 θ +sin^2 θ )
x^2+y^2=ρ ^2
(x^2+y^2)^2= ρ ^4
Элемент dxdy=ρdρd θ

0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ ρ ≤ 2

∫∫ _(D)(x^2+y^2)^2dxdy = ∫ ^(2π)_(0)∫^(2)_(0) ρ ^4 *(ρdρd θ)=

= ∫ ^(2π)_(0)d θ ∫ ^(2)_(0) ρ ^5dρ=

=2π*( ρ ^(6)/6)=2π*2^6/6=128π/6= [b]64π/3[/b]