под интегралом [i]неправильная[/i] дpобь, степень числителя равна степени знаменателя.
Выделяем целую часть:
[m]\frac{4x^3+2x^2+1}{x(x^2-2x+1)}=\frac{4x^3+2x^2+1}{x^3-2x^2+x}=4+\frac{10x^2-4x+1}{x(x-1)^2}[/m]
Правильную дробь разложим на простейшие дроби:
[m]\frac{10x^2-4x+1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}[/m]
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:
10x^2-4x+1=A*(x-1)^2+B*x*(x-1)+D*x
Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
10=A+B
-4=-2A-B+D
A=1
B=9
D=7
Итак,
[m]\int \frac{4x^3+2x^2+1}{x(x-1)^2}dx=\int (4+\frac{1}{x}+\frac{9}{x-1}+\frac{7}{(x-1)^2})dx=4x+ln|x|+9ln|x-1|-\frac{7}{x-1}+C[/m]
г)
[m]\int \frac{dx}{2+5cos^2x}=\int \frac{dx}{2sin^2x+7cos^2x}=\int \frac{dx}{cos^2x\cdot(2tg^2x+7)}=\frac{1}{2}\int \frac{d(tgx)}{tg^2x+\frac{7}{2}}=[/m]
табличный интеграл:
[m]=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{7}{2}}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{\frac{7}{2}}}+C=\frac{1}{\sqrt{14}}arctg\frac{\sqrt{2}tgx}{\sqrt{7}}+C[/m]