Задача 23277 Известно, что для всех пар чисел $$(x;...

u2138713149

04.02.2018

Известно, что для всех пар чисел $$(x; y)$$, для которых выполняются равенство $$x+y=7$$ и неравенство $$x^2+y^2 > 30$$, выполняется и неравенство $$x^3+y^3 > m$$. Какое наибольшее значение может принимать $$m$$?

SOVA

04.02.2018

★

{x+y=7
{x^2+y^2 > 30

Выразим у из первого и подставим во второе
x^2+(7-x)^2 > 30

Решаем неравенство:
2x^2-14x+19 > 0 D=196-4*2*19=44

x∈(-бесконечность; (7-sqrt(11))/2)U((7+sqrt(11))/2);+ бесконечность)
Найдем, при каких значениях
х ∈(- бесконечность ; (7-sqrt(11))/2]U[(7+sqrt(11))/2);+ бесконечность)[
( обратите внимание на квадратные скобки)
функция
f(x;y)=x^3+y^3
или
f(x)=x^3+(7-x)^3 принимает наименьшее значение! ( оно и будет наибольшим значением m)

Упрощаем
f(x)=x^3+343-147x+21x^2-x^3;
f(x)=21x^2-147x+343
Находим производную
y`=42x-147

y`=0
42x-147=0
x=3,5

3,5 не принадлежит (- бесконечность ; (7-sqrt(11))/2]U[(7+sqrt(11))/2);+ бесконечность)

Так как производная отрицательна на
(-бесконечность; (7-sqrt(11))/2), то функция убывает и наименьшее значение принимает в точке (7-sqrt(11))/2.
Так как производная положительна на промежутке ((7+sqrt(11))/2);+ бесконечность), то функция возрастает и наименьшее значение принимает в точке (7+sqrt(11))/2

Находим значение функции в точке (7-sqrt(11))/2.

f((7-sqrt(11))/2)=((7-sqrt(11))/2)^3+(7-((7-sqrt(11))/2)^2=

=((7-sqrt(11))/2)^3+((7+sqrt(11))/2)^3=

=формула (a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)=

=(7-sqrt(11)+7+sqrt(11)*((7-sqrt(11))^2-(7-sqrt(11))*(7+sqrt(11))+(7-sqrt(11))^2)/8=

=14*((49+11)*2-(49-11))/8=14*(120-38)/8=287/2=143,5

Заметим, что значение функции в точке (7+sqrt(11))/2:

f((7+sqrt(11))/2)=f((7-sqrt(11))/2)=143,5

Наименьшее значение функции f(x)=x^3+y^3 на (- бесконечность; (7-sqrt(11))/2] и [(7+sqrt(11))/2; + бесконечность) равно 143,5

Значит наибольшее m=143,5
О т в е т. m=143,5