Задача 42170 y'-y=(x+1/x)e^x решить диф.ур-е и...

vk289444173

2019-12-01 21:49:06

y'-y=(x+1/x)e^x
решить диф.ур-е и провести проверку

sova

2019-12-01 22:56:02

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``-y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-1=0
(k+1)(k-1)=0
k1=-1; k2=1– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-х)+C_(2)*e^(x)

Применяем метод вариации произвольных постоянных

Для этого константы С_(1) и С_(2) считаем зависящими от х

[b]y=C_(1)(х)*e^(-x)+C_(2)(х)*e^(x) (#)[/b]


C_(1) x и С_(2)(х) находим из системы:

{ C’_(1)(x)e^(-x)+C`_(2)(x)e^(x)=0;
{C`_(1)(x)*(-e^(-x))+C’_(2)(x)*e^(x)=(x+1/x)e^(x)

Из первого уравнения: С’_(1)(x)=-C`_(2)e^(2x)

подставляем во второе,

получаем

-C`_(2)(x)e^(2x)*(-e^(-x))+C`_(2)(x)*e^(x)=(x+1/x)e^(x)

2C`_(2)(x) *e^(x)=(x+1/x)e^(x)


C’_(2)(x)=(x+1/x)



C_(2)(x)= ∫ (x+1/x)dx= плохо понимаю, что здесь: сумма или дробь.

поэтому дальше самостоятельно.

Находим С_(2)(х)

Подставляем в

С’_(1)(x)=-C`_(2)e^(2x)

Находим С_(1)(х)