Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 42955 1. e^(-2y)(1+y') = 4 2. y' = y/x +...

Условие

1. e^(-2y)(1+y') = 4

2. y' = y/x + sin(y/x)

математика ВУЗ 926

Решение

1.
Умножим обе части уравнения на
[m]e^{2y}[/m]

[m]1+y`=4e^{2y}[/m]

[m]\frac{dy}{dx}=4e^{2y}-1[/m] - уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{dy}{4e^{2y}-1}=dx[/m]

Интегрируем:
[m]\int \frac{dy}{4e^{2y}-1}=\int dx[/m]

Замена
e^(y)=t
y=lnt
dy=dt/t
[m]\int \frac{dt}{t(4t^{2}-1)}=\int dx[/m]

Слева рациональная дробь, ее надо разложить на простейшие дроби:

[m]\int\frac{4tdt}{4t^{2}-1}- \int\frac{dt}{t}=\int dx[/m]

[m]\frac{1}{2}ln|4t^{2}-1|-ln|t|+lnC=x[/m]

[m]x=C\frac{\sqrt{4e^{2y}-1}}{e^{y}}[/m] - общее решение данного уравнения

2.
Так как справа
φ (y/x)=(y/x)+sin(y/x), т.е уравнение вида

y`= φ (y/x)

Это однородное уравнение
Решается заменой
[blue]y/x=u[/blue]
y=xu
y`=x`*u+x*u` ( x`=1, т.к х - независимая переменная)
[blue]y`=u+x*u`[/blue]

Подставляем в уравнение:

u+x*u`=u+sinu

x*u`=sinu - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

xdu=sinudx

Разделяем переменные:

du/sinu=dx/x

Интегрируем:

∫ du/sinu= ∫ dx/x

ln|tg(u/2)|+lnC=ln|x|
lnC*|tg(u/2)|=ln|x|

Ctg(u/2)=x

u=y/x

C*[m]tg\frac{y}{2x}=x[/m] - общее решение данного уравнения

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК