2. y' = y/x + sin(y/x)
Умножим обе части уравнения на
[m]e^{2y}[/m]
[m]1+y`=4e^{2y}[/m]
[m]\frac{dy}{dx}=4e^{2y}-1[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]\frac{dy}{4e^{2y}-1}=dx[/m]
Интегрируем:
[m]\int \frac{dy}{4e^{2y}-1}=\int dx[/m]
Замена
e^(y)=t
y=lnt
dy=dt/t
[m]\int \frac{dt}{t(4t^{2}-1)}=\int dx[/m]
Слева рациональная дробь, ее надо разложить на простейшие дроби:
[m]\int\frac{4tdt}{4t^{2}-1}- \int\frac{dt}{t}=\int dx[/m]
[m]\frac{1}{2}ln|4t^{2}-1|-ln|t|+lnC=x[/m]
[m]x=C\frac{\sqrt{4e^{2y}-1}}{e^{y}}[/m] - общее решение данного уравнения
2.
Так как справа
φ (y/x)=(y/x)+sin(y/x), т.е уравнение вида
y`= φ (y/x)
Это однородное уравнение
Решается заменой
[blue]y/x=u[/blue]
y=xu
y`=x`*u+x*u` ( x`=1, т.к х - независимая переменная)
[blue]y`=u+x*u`[/blue]
Подставляем в уравнение:
u+x*u`=u+sinu
x*u`=sinu - уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
xdu=sinudx
Разделяем переменные:
du/sinu=dx/x
Интегрируем:
∫ du/sinu= ∫ dx/x
ln|tg(u/2)|+lnC=ln|x|
lnC*|tg(u/2)|=ln|x|
Ctg(u/2)=x
u=y/x
C*[m]tg\frac{y}{2x}=x[/m] - общее решение данного уравнения