Задача 17984 В остроугольном треугольнике ABC...

slava191

10 июля 2017 г. в 00:00

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и медиана CE, а точки K и L являются проекциями на сторону AC точек D и E соответственно, причем AK=4KC, AL=(3/7)LC.

а) Докажите, что AB=AC.

б) Найдите отношение AD:CE.

SOVA

10 июля 2017 г. в 00:00

★

Пусть
АL=3х;LС=7х ( тогда АL=(3/7)LC)
КС=у, тогда АК=4у
LK=AK–AL=4у–3х, c другой стороны LK=LC–KC=7х–у
Приравниваем
4у–3х=7х–у ⇒ 5у=10х ⇒ у=2х


Итак,
АL=3х;LС=7х
КС=у=2х, тогда АК=4у=4·2х=8х

Тогда LT=5x.
Проведем высоту ВТ.
ВТ || EL
EL– средняя линия Δ АВТ.
AL=LT=3x
TK=KC=2x
DK– средняя линия Δ ВТС
и точка D – середина ВС
Значит AD и биссектриса и медиана Δ АВС ⇒
Δ АВС – равнобедренный,
АВ=АС
АС=10х, значит и АВ=10х

По теореме Пифагора из треугольника AEL
EL²=AE²–AL²=(5x)²–(3x)²=16x²
EL=4x

По теореме Пифагора из треугольника ELC
EC²=EL²+LC²=16x²+(7x)²=65x²
EC=x√65

EL=DK=4x
По теореме Пифагора из треугольника АDK
AD²=AK²+DK²
AD²=(8x)²+(4x)²=80x²
AD=x√80

AD:CE=x√80:x√65=√80/√65=√80/65=
=√16/13=4/√13
О т в е т. 4:√13