Задача 48140 Строительной организации необходимо...

vk256336517

23 апреля 2020 г. в 20:31

Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью 2500 м². Стоимость одного дома площадью a м² складывается из стоимости материалов p₁a√a тыс. рублей, стоимости строительных работ p₂а тыс. рублей и стоимости отделочных работ p₃√a тыс. рублей. Числа p₁, p₂, p₃ – последовательные члены геометрической прогрессии, причём p₁·p₂·p₃ = 64, p₁+p₂+p₃ =21. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты вышли минимальными.

sova

23 апреля 2020 г. в 21:22

Пусть необходимо построить n домов общей площадью 2500 кв м
Дома одинаковые.
Значит [m] \frac{2500}{n}[/m] – площадь одного дома или по условию

[m]a= \frac{2500}{n}[/m]

Требуется найти n, чтобы общие затраты:

[m]f(n)=p_{1} \cdot \frac{2500}{n}\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}} + p_{2}\cdot \frac{2500}{n}+p_{3}\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}}[/m]

были минимальными.


Разбираемся с данными о прогрессии:

[m]p_{2}=p_{1}\cdot q[/m]

[m]p_{3}=p_{1}\cdot q^2[/m]

[m]p_{1}\cdot p_{2} \cdot p_{3}=p_{1}^3\cdot q^3[/m]

[m]p_{1}^3\cdot q^3=64[/m] ⇒ [m] p_{1} \cdot q =4[/m]


[m]p_{1}+p_{1}q+p_{1}q^2=21[/m] ⇒ [m]p_{1}+4+4\cdot q=21[/m] ⇒

{ [m] p_{1} \cdot q =4[/m]
{ [m]p_{1}+4+4\cdot q=21[/m] ⇒ [m]p_{1}+4\cdot q=17[/m]

Из системы находим [m]p_{1}=1[/m] и [m]q=4[/m]; [m]p_{2}=4[/m] ; [m]p_{3}=16[/m]

ИЛИ

[m]p_{1}=16[/m] и [m]q=\frac{1}{4}[/m]; [m]p_{2}=4[/m] ; [m]p_{3}=1[/m]

Значит два случая:
1)
[m]f(n)= \frac{2500}{n}\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}} + 4\cdot \frac{2500}{n}+16\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}}[/m]

и дополнительное условие:

При n=63

[m] \frac{2500}{63}\cdot \sqrt{ \frac{2500}{63}} ≤4\cdot \frac{2500}{63}+16\cdot \sqrt{ \frac{2500}{63}}[/m]

ИЛИ
2)
[m]f(n)= 16 \frac{2500}{n}\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}} + 4\cdot \frac{2500}{n}+1\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}}[/m]


и дополнительное условие:

При n=63

[m]16 \cdot \frac{2500}{63}\cdot \sqrt{ \frac{2500}{63}} ≤ 4\cdot \frac{2500}{63}+ \sqrt{ \frac{2500}{63}}[/m]




1)

[m]f(n)= \sqrt{ \frac{2500}{n}} \cdot ( \frac{2500}{n} + 4\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}}+16)[/m]
и дополнительное условие:

[m] \sqrt{ \frac{2500}{63}} \cdot (1 \frac{2500}{63} - 4\cdot \sqrt{ \frac{2500}{63}}-16)≤ 0[/m]


ИЛИ
2)
[m]f(n)= \sqrt{ \frac{2500}{n}} \cdot (16 \frac{2500}{n} + 4\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}}+1)[/m]


и дополнительное условие:

[m] \sqrt{ \frac{2500}{63}} \cdot (16 \frac{2500}{63} - 4\cdot \sqrt{ \frac{2500}{63}}-1)≤ 0[/m]


Не вижу никакой гиперболы. Только квадратные трехчлены:

[m]( \frac{2500}{n} + 4\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}}+16) [/m] это t²+4t+16

[m]( 16\frac{2500}{n} + 4\cdot \sqrt{ \frac{2500}{n}}+1) [/m] это 16t²+4t+1

наименьшее значение не в вершине, а при условии....