Задача 30842 ...

svdy031

7 ноября 2018 г. в 21:31

Дано комплексное число z=4/(1+i√3). Требуется:

1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательных формах.

2) найти все значения ∛z и изобразить их радиус–векторами.

3) найти z³, ответ записать в тригонометрической, показательной и алгебраической формах

sova

7 ноября 2018 г. в 23:04

★

z=4·(1–i√3)/(1²–(i·√3)²)= 4·(1–i·√3)/4=1–i·√3
|z|=√1²+(√3)²=√1+3=√4=2;
cosφ = x/|z| = 1/2
sinφ = y/z = – √3/2
φ=–π/3

z=2·(cos(–π/3) + i·sin(–π/3))
cos(–π/3)=cos(π/3)
sin(–π/3)= – sin(π/3)

z=2·(cos(π/3) – i·sin(π/3)) – триг форма

z=2·e^i(–π/3) – показ форма
2) ∛z=∛2·(cos((π/3)+2πk )/3 + i ·sin ((π/3)+2πk )/3
k=0;1;2

k=0
∛z₀ =∛2·(cos(π/9) + i ·sin (π/9))
k=1
∛z₁ =∛2·(cos(7π/9) + i ·sin (7π/9))
k=1
∛z₂ =∛2·(cos(13π/9) + i ·sin (13π/9))



3) По формуле Муавра
z³=2³·(cos3·(π/3)–i·sin3·(π/3))=8·(cosπ–i·sinπ)=–8