Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 29534 ...

Условие

Вписанная в треугольник АВС окружность касается сторон АВ, ВС и АС в точках К, L и М соответственно. Найдите KL , если AM = 2, МС = 3 и ∠C = Pi/3 . [9.36]

математика 10-11 класс 4495

Решение

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны:
AM+AK=2
CM=CL=3
BK=BL=x.

По теореме косинусов:
AB^2=AC^2+BC^2-2*AB*BC*cos(π/3)

(х+2)^2=5^2+(x+3)^2-2*5*(x+3)*(1/2)
x=5

Из прямоугольного треугольника МОС
OM=MC*tg(π/6)=3*(sqrt(3)/3)=sqrt(3)

Четырехугольник BKLO :
∠ BKO = ∠BLO = 90 градусов

BK=BL=5
OK=OL=sqrt(3)
BO=sqrt(5^2+(sqrt(3))^2)=sqrt(28)=2sqrt(7)

Диагонали четырехугольника BO и KL взаимно перпендикулярны.

Из фомул вычисления площади прямоугольного треугольника
S=(1/2)a*b и S=(1/2)c*h

(1/2)KL=BK*OK/BO

KL=2*5*sqrt(3)/2sqrt(7)=5sqrt(3/7)

О т в е т. 5 sqrt(3/7)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК