Задача 52006 ...

vk180799942

2020-06-01 10:27:14

Указать структуру общего решения уравнения ;
y"'+y"=10sinx+6cosx+4e^x

sova

2020-06-01 14:36:19

★

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами:

y''''+y''=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^4+k^2=0

k^2*(k^2+1)=0

k_(1)=0; k_(2)=0 - корни действительные кратные,

k_(3)=-i; k_(4)=i - корни комплексные
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)cosx+C_(4)sinx - общее решение однородного уравнения

Правая часть [i]неоднородного уравнения [/i] - сумма двух функций
f_(1)(x)=10sinx+6cosx

f_(2)(x)=4e^(x)

Каждая функция имеет так называемый ''специальный'' вид, поэтому частные решения находим в виде

y__(1)(x)=(Acosx+Bsinx)*x ( cм. таблицу пункт 5 :0+i=k_(4) - корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на x^(1))

y_(2)(x)=M*e^(4x) ( cм таблицу п.3; 4 не корень характ. уравнения, Q(x)=M)

y_(общее неодн)=у_(общее одн) +y_(1)+y_(2)=

=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)cosx+C_(4)sinx +


+(Acosx+Bsinx)*x+M*e^(4x)

- общее решение неоднородного уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью