Задача 52006 ...

vk180799942

1 июня 2020 г. в 10:27

Указать структуру общего решения уравнения ;
y"'+y"=10sinx+6cosx+4e^x

sova

1 июня 2020 г. в 14:36

★

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами:

y''''+y''=0

Составляем характеристическое уравнение:
k⁴+k²=0

k²·(k²+1)=0

k₁=0; k₂=0 – корни действительные кратные,

k₃=–i; k₄=i – корни комплексные
поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_{общее одн}=C₁e^0x+C₂x·e^0x+C₃cosx+C₄sinx – общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения – сумма двух функций
f₁(x)=10sinx+6cosx

f₂(x)=4e^x

Каждая функция имеет так называемый ''специальный'' вид, поэтому частные решения находим в виде

y_₁(x)=(Acosx+Bsinx)·x ( cм. таблицу пункт 5 :0+i=k₄ – корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на x¹)

y₂(x)=M·e^4x ( cм таблицу п.3; 4 не корень характ. уравнения, Q(x)=M)

y_{общее неодн}=у_{общее одн} +y₁+y₂=

=C₁e^0x+C₂x·e^0x+C₃cosx+C₄sinx +


+(Acosx+Bsinx)·x+M·e^4x

– общее решение неоднородного уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью