Задача 35558 Задание 3. Решить дифференциальное...

vk457319503

9 апреля 2019 г. в 09:54

Задание 3. Решить дифференциальное уравнение первого порядка:
a) найти общий интеграл;
б) найти частное решение дифференциального уравнения.

a) [m] yy'/x + e^y = 0 [/m]; б) [m] y' - \frac{3y}{x} = e^x x^3 [/m], [m] y(1) = e [/m].

sova

9 апреля 2019 г. в 13:50

★

a) yy`/x=–e^y – уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем
ydy/e^y=xdx

Интегрируем
∫ y·e^–ydy= ∫ xdx

Первый интеграл считаем по частям:
u=y
dv=e^–ydy

–y·e^–y– ∫ (–e^–y)dy = (x²/2)+C;

e^–y·(–y–1)= (x²/2)+C;

б)
Линейное. Метод вариации произвольной постоянной или метод Бернулли.

Cогласно методу Бернулли, решение y– произведение двух произвольных функций u(x) и v(x)

y=u·v
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v` –(3uv/x)=e^x·x³

u`·v–u·( v`–3v/x)=e^x·x³

Пусть функция v(x) такова, что

v`–3v/x=0

Тогда
u`·v–u·0=e^x·x³


Получили два уравнения с разделяющимися переменными:
v`–3v/x=0
dv/v=3dx/x
∫ dv/v=3 ∫ dx/x
ln|v|=3ln|x|
v=x³

u`·x³=e^x·x³

u`=e^x

u= ∫ e^xdx=e^x+C

y=(e^x+C)·x³ – общее решение

Так как
y(1)=e

e=(e¹+C)·1
C=0

y=(e^x)·x³ – частное решение, удовлетворяющее условию y(1)=e