Задача 35558 Помогите пожалуйста 8-е задание...
Условие
Решение
Разделяем
ydy/e^(y)=xdx
Интегрируем
∫ y*e^(-y)dy= ∫ xdx
Первый интеграл считаем по частям:
u=y
dv=e^(-y)dy
-y*e^(-y)- ∫ (-e^(-y))dy = (x^2/2)+C;
e^(-y)*(-y-1)= (x^2/2)+C;
б)
Линейное. Метод вариации произвольной постоянной или метод Бернулли.
Cогласно методу Бернулли, решение y- произведение двух произвольных функций u(x) и v(x)
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v` -(3uv/x)=e^(x)*x^3
u`*v-u*( [b]v`-3v/x[/b])=e^(x)*x^3
Пусть функция v(x) такова, что
[b]v`-3v/x[/b]=0
Тогда
u`*v-u*0=e^(x)*x^3
Получили два уравнения с разделяющимися переменными:
v`-3v/x=0
dv/v=3dx/x
∫ dv/v=3 ∫ dx/x
ln|v|=3ln|x|
v=x^3
u`*x^3=e^(x)*x^3
u`=e^(x)
u= ∫ e^(x)dx=e^(x)+C
y=(e^(x)+C)*x^3 - [b]общее [/b]решение
Так как
y(1)=e
e=(e^(1)+C)*1
C=0
y=(e^(x))*x^3 - [b]частное [/b]решение, удовлетворяющее условию y(1)=e