Задача 44827 В прямоугольный треугольник ABC с прямым...

radostmalchikov

2020-03-05 21:30:19

В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся строн треугольника в точках D,E,K. Найти площадь треугольника DEK, если BC=8,AC = 6

sova

2020-03-05 21:33:00

По теореме Пифагора гипотенуза АВ=10
Радиус вписанной окружности :
r=(a+b-c)/2=(8+6-10)/2=2

Эта же самая окружность описана около ΔDEK

r=DE*EK*DK/4S_(ΔDEK) ⇒

[b]S_(ΔDEK)[/b] =DE*EK*DK/4r=[b](DE*EK*DK)/8[/b]

Осталось найти стороны треугольника ΔDEK

см. рис.

DK=2sqrt(2) из Δ CDK ( равнобедренного прямоугольного)

В Δ АВС:

cos ∠ A=BC/AB=8/10=0,8

cos ∠ B=AC/AB=6/10=0,6

Тогда
Из Δ DBE по теореме косинусов
DE^2=6^2+6^2-2*6*6*cos ∠ B=72-72*0,6=72*(1-0,6)=72*0,4
DE=6*sqrt(0,8)

Из Δ AKE по теореме косинусов
KE^2=4^2+4^2-2*4*4*cos ∠ A=32-32*0,8=32*(1-0,8)=32*0,2
KE=4*sqrt(0,4)

[b]S_(ΔDEK) =[/b](DE*EK*DK)/8=(2sqrt(2)*6sqrt(0,8)*4*sqrt(0,4))/8=

=6*sqrt(2)*sqrt(0,32)=[b]4,8[/b]