Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 33275 ...

Условие

Решить систему

{ 3*9^(-x)-28*3^(-x)+9 ≤ 0
{ log_(x^2)(x+1)^2 ≤ 1

математика 10-11 класс 905

Решение

(1)
Первое неравенство - квадратное
3^(-x)=t
t>0
9^(-x)=t^2
3t^2-28t+9 ≤ 0
D=(-28)^2-4*3*9=784-108=676=26^2
t_(1)=(28-26)/6=1/3; t_(2)=(28+26)/6=9
Решение неравенства
(1/3) ≤ t ≤ 9
Обратная замена
3^(-1) ≤ 3^(-x) ≤ 3^(2)
Показательная функция с основанием 3 возрастающая, поэтому
-1 ≤ (-х) ≤ 2 ⇒ -2 ≤ x ≤ 1
решение (1) [-2;1]

(2)
Логарифмическое неравенство:
ОДЗ:
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
{(x+1)^2 >0 ⇒ x ≠ -1
ОДЗ: х ∈(-∞;-1)U(-1;0) U (0;1)U(1;+ ∞ )

[b]Применяя метод рационализации логарифмических неравенств [/b]( cм приложение) решаем неравенство:
(x^2-1)*((x+1)^2-x^2) ≤ 0
с учетом ОДЗ
(x-1)(x+1)*(2x+1) ≤ 0
_-__ (-1) _+_ ( -1/2) _-_ (0) ___-_____ (1) _ +__

решение (2): (-∞;-1)U(-1/2;0) U (0;1)

Пересечение (1) и (2)
даст О т в е т. [-2;-1) U (-1/2;0) U(0;1)


Р.S

По свойству log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b
[b]a>0;b>0[/b]
Поэтому применение этого свойства
приводит к неравенству c модулями
(2/2)*log_(|x|)(|x+1|) ≤ 1
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств
решаем неравенство:
(|x|-1)*(|x+1|-|x|) ≤ 0

Первый вариант проще.


Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК