Задача 21581 Найти точку Q, симметричную точке...
Условие
Решение
Суть решения в следующем
1) находим нормаль к заданной плоскости, это будет направляющий вектор искомой прямой.
(3;1;-2)-нормаль плоскости
2) пишем уравнение прямой с этим направляющим вектором, проходящим через точку Р.
(x-1)/3=(y-3)/1=(z-4)/(-2)
3) Ищем точку пресечения прямой и плоскости Р1,
4) на таком же расстоянии от Р1 откладываем на прямой в другую сторону точку Р2, она то и будет иметь координаты, записанные в начале.
Все решения
Нормальный вектор плоскости 3x+y-2z=0 имеет координаты
(3;1;-2)
Этот вектор является направляющим вектором прямой, перпендикулярной плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) c направляющим вектором (m;n;p)имеет вид
(x-x_(o))/m=(y-y_(o))/n=(z-z_(o))/p
Подставляем данные в это уравнение
(x-1)/3=(y-3)/1=(z-4)/(-2)
Находим проекцию точки Р на плоскость 3x+y–2z=0
Это точка пересечения прямой и плоскости.
Решаем систему уравнений:
{3x+y-2z=0
{(x-1)/3=(y-3)/1
{(y-3)/1=(z-4)/(-2)
{3x+y-2z=0
{x-3y+8=0 ⇒ x=3y-8
{2y+z-10=0 ⇒ z=-2y+10
3*(3y-8)+y-2*(-2y+10)=0
14y=44
y=22/7
x=10/7
z=26/7
K(10/7; 22/7; 26/7)
- точка пересечения прямой и плоскости
Q(x;y;z) - точка на прямой
vector{PK}=vector{KQ}
vector{PK}((10/7)-1; (22/7)-3; (26/7)-4)
vector{KQ}=(x-(10/7); y-(22/7);z-(26/7)
Векторы равны, если их координаты равны.
(10/7)-1=х-(10/7)
х=13/7
x=1 целая 6/7
(22/7)-3=у-(22/7)
у=23/7
у=3 целых 2/7
(26/7)-4=z-(26/7)
z=24/7
z=3 целых 3/7
О т в е т. Q(1целых 6/7; 3 целых 2/7; 3 целых 3/7)