25x^2+y^2+6y+9=16a
(5x)^2+(y+3)^2=16a
Замена:
sqrt(|y+3|)=u
u ≥ 0
sqrt(5|x|)=v
v ≥ 0
В силу симметрии достаточно ответить на вопрос
При каких значениях система:
{u=1-v
{u≥ 0
{v≥ 0
{u^4+v^4=16a
имеет 1 корень
(1-v)^4+v^4=16a
1-4v+6v^2-4v^3+2v^4=16a
2v^4-4v^3+6v^2-4v+1-16a=0 - при каких значениях параметра а уравнение имеет 1 корень?
или
(1/8)v^4-(1/4)v^3+(3/8)v^2-(1/4)v+(1/16)=a
Исследуем функцию
g(v)=(1/8)v^4-(1/4)v^3+(3/8)v^2-(1/4)v+(1/16)
строим график
g`(v)=(4/8)v^3-(3/4)v^2+(6/8)v-(1/4) возрастающая функция
g`(v)=0
обращается в 0 в единственной точке:
v=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
При v=1/2
g(1/2)=(1/8)*(1/16)-(1/4)*(1/8)+(3/8)*(1/4)-(1/4)*(1/2)+(1/16)=
=1/128
При а=1/128 единственное решение
Тогда данная cистема имеет 4 решения