Задача 42032 Найти циркуляцию векторного поля F =...

vk502898628

2019-11-28 17:58:00

Найти циркуляцию векторного поля F = yi+2xj вдоль ломаной ABC, где A(1, 1), B(4, 2), C(0, 4)

sova

2019-11-28 23:19:35

★

АВС: АВ+ВС

Составим уравнение прямой АВ, как прямой проходящей через две точки:
(х-1)/(4-1)=(у-1)/(2-1)

АВ: х-3у+2=0

Составим уравнение прямой ВС, как прямой проходящей через две точки:
(х-4)/(0-4)=(у-2)/(4-2)

АВ: х+2у-8=0

Ц= ∫_(ABC) vector{F}ds=∫_(AB) vector{F}ds+∫_(BC) vector{F}ds

ds=dx*vector{i}+dy*vector{j}


∫_(AB) vector{F}ds= ∫ _(AB)(ydx+2xdy)=

y=(x-2)/3
dy=(1/3)dx

=∫^(4) _(1)[b]([/b]((x-2)/3)dx+2x*(1/3)dx[b])[/b]==∫^(4) _(1)[b]([/b]x-(2/3)[b])[/b]dx=

=[b]([/b](x^2/2)-(2/3)x[b])[/b]|^(4)_(1)=(4^2/2)-(2/3)*4-(1/2)+(2/3)=[b]3,5[/b]


∫_(BC) vector{F}ds=∫_(BC)ydx+2xdy)

y=(-x-8)/2
dy=(-1/2)dx

=∫^(0) _(4)[b]([/b]((-x-8)/2)dx+2x*(-1/2)dx[b])[/b]=∫^(0) _(4)[b]([/b](-3/2)x-4[b])[/b]dx=

=(-3/2)*[b]([/b](x^2/2)-4x[b])[/b]|^(0)_(4)=(3/2)*(4^2/2)+4*4=12+16=[b]28[/b]

Ц= ∫_(ABC) vector{F}ds=∫_(AB) vector{F}ds+∫_(BC) vector{F}ds=

[b]=3,5+28=31,5[/b]