Задача 27277 ...
Условие
Вычислить интеграл по области L + рисунок
∫ z dl;
L: x=t·cos(t); y=t·sin(t); z=t; 0 < = t < = 2;
Решение
y=t·sin(t) ⇒ sint = y/t
Возводим в квадрат
сos^2t=(x/t)^2
sin^2t=(y/t)^2
Складываем
(x/t)^2+(y/t)^2=1
x^2+y^2=t^2
0 меньше или равно t меньше или равно 2 - область представляет собой внутренность круга с центром в точке (0;0) и радиусом 2
x=t·cos(t); y=t·sin(t)
0 меньше или равно t меньше или равно 2;
L: x=t·cos(t); y=t·sin(t); z=t; 0 < = t < = 2;
dl=sqrt((x`(t))^2 + (y`(t))^2)dt=
=sqrt((cost-tsint)^2+(sint+tcost)^2)dt=sqrt(1+t^2)dt
∫ zdl= ∫^(2)_(0) tsqrt(1+t^2)dt=
=(1/2) ∫^(2)_(0) sqrt(1+t^2)d(1+t^2)=
=(1/2)*((1+t^2)^(3/2)/(3/2))^(2)_(0)=
=(1/2)*(2/3)*((1+2^2)^(3/2)-1)=(1/3)*(sqrt(125)-1)