Задача 43291 [red]Система...

vk185980565

2020-01-09 18:51:37

[red]Система уравнений:
x^4+y^2=a^2;
x^2+y=|a+1|
При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 решения[/red]

sova

2020-01-09 20:50:32

Возводим второе в квадрат:
x^4+2x^2*y+y^2=a^2+2a+1

x^4+y^2 заменим на a^2

y=|a+1|-x^2


a^2+2x^2*(|a+1|-x^2)=a^2+2a+1


Биквадратное уравнение:

2x^4-2*|a+1|*x^2+2a+1=0

x^2=t

2t^2-2*|a+1|*t+2a+1=0

D=4(a+1)^2-4*2*(2a+1)=4a^2+8a+4-16a-8=4a^2-8a-4=4*(a^2-2a-1)

D>0 ⇒ квадратное уравнение имеет два корня
t_(1) и t_(2)

По теореме Виета
t_(1) + t_(2)=2*|a+1| > 0
t_(1) * t_(2)=2a+1

Если оба корня положительны, то обратная замена

x^2=t_(1) или x^2=t_(2)
приводит к двум уравнениям.

Каждое уравнение имеет по два корня, тогда и будет 4 решения:
у системы

Из условий:
{a^2-2a-1>0 ⇒ D=8; корни 1-sqrt(2) и 1+sqrt(2)
{2a+1>0 ⇒ a>-0,5

О т в е т.

(-0,5;1-sqrt(2))U(1+sqrt(2);+ ∞ )