Задача 42615 решить, не пользуясь правилом Лопеталя...
Условие
Все решения
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3+8x-2}{x^3}}{\frac{x^3-2x^2+1}{x^3}}=[/m]
Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:
[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3}{x^3}+\frac{8x}{x^3}-\frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{1}{x^3}}=\frac{3+0-0}{1-0+0}=3[/m]
2)Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(2x+7)}{(x-1)(3x+2)}=[/m]
сокращаем на (х-1)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{2x+7}{3x+2}=\frac{2\cdot 1+7}{3\cdot 1+2}=\frac{9}{5}=1, 8[/m]
3.
По формулам приведения:
sin(2π(x+5))=sin(2πx+[blue]10π[/blue])=sin2πx
Применяем первый замечательный предел и следствия из него
( см. приложение)
[m]\lim_{x \to 0}\frac{2 \pi x}{sin2 \pi x}=1[/m]
[m]\lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{2x}=1[/m]
[m]\lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{sin(2 \pi (x+5))}=\lim_{x \to 0}\frac{2 \pi x}{sin2 \pi x} \cdot lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{2x}{2 \pi x}=\frac{1}{\pi}[/m]
4.
[m]\frac{n^3+1}{n^3-1}=\frac{n^3-1+2}{n^3-1}=1+\frac{2}{n^3-1}[/m]
Так как
[m]\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=e[/m]
( cм. тему число "e")
и потому
[m]\lim_{n \to \infty }(1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}}=e[/m]
Тогда
[m]\lim_{n \to \infty }(\frac{n^3+1}{(n^3-1)})^{2-n^3}=[/m]
[m]=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}\cdot \frac{2}{n^3-1}\cdot (2-n^3)}=[/m]
[m]=\lim_{n \to \infty }((1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}})^{ \frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=[/m]
[m]\lim_{n \to \infty }((1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}})^{lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=e^{lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=e^{-2}[/m]
так как
[m]lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}=\frac{\infty }{\infty }=[/m]
Делим на n^3 как в примере 1
[m]=lim_{n \to \infty }\frac{\frac {4-2n^3}{n^3}}{\frac{n^3-1}{n^3}}=\frac{-2}{1}=-2[/m]