Задача 42928 ...
Условие
[block](4^x-2^(x+3)+7)/(4^x-5*2^x+4) ≤ (2^x-9)/(2^x-4) + (1)/(2^x-6)[/block]
Решение
2^(x)=t, [red] t > 0[/red]
2^(x+3)=2^x*2^3=8t
4^(x)=(2^[green]2[/green])^(x)=(2^x)^[green]2[/green]=t^2
[m]\frac{t^2-8t+7}{t^2-5t+4}\leq \frac{t-9}{t-4}+\frac{1}{t-6}[/m]
[green]t ≠ 4; t ≠ 6;[/green]
t^2-5t+4 ≠ 0 ⇒[green] t ≠ 1 и t ≠ 4[/green]
[m]\frac{t^2-8t+7}{t^2-5t+4}- \frac{t-9}{t-4}-\frac{1}{t-6}\leq 0[/m]
[m]\frac{t^2-8t+7}{(t-4)(t-1)}- \frac{t-9}{t-4}-\frac{1}{t-6}\leq 0[/m]
Приводим к общему знаменателю
Иногда бывает полезно приводить к общему знаменателю поэтапно:
[m]\frac{t^2-8t+7-(t-9)(t-1)}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]
[m]\frac{t^2-8t+7-t^2+9t+t-9}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]
[m]\frac{t^2-8t+7-t^2+9t+t-9}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]
[m]\frac{2(t-1)}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]
[green]t ≠ 1[/green]
[m]\frac{2}{t-4}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]
[m]\frac{2(t-6)-(t-4)}{(t-4)(t-6)} \leq 0[/m]
[m]\frac{2t-12-t+4}{(t-4)(t-6)} \leq 0[/m]
[m]\frac{t-8}{(t-4)(t-6)} \leq 0[/m]
(0) _-_ (1) _-__ (4) __+___ (6) __-___ [8] __+___
0 < t < 1; 1< t < 4 ; 6 < t ≤ 8
2^(x) < 1; 1 < 2^(x) < 4; 6 < 2^(x) ≤ 8
x < 0; 0 < x < 2; log_(2)6 < x ≤ 3
О т в е т. (- ∞ ;0) U (0;2) U (log_(2)6; 3]
