Задача 22028 Дана последовательность y_(n) = n(n +...

u4624212155

05.01.2018

Дана последовательность y_(n) = n(n + 1). Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами k и l (l < 100 < k) делится на 3^(10). Найдите наименьшее возможное значение суммы l + k.

SOVA

05.01.2018

★

y_(k)-y_(l)=k*(k+1)-l*(l+1)=k^2+k-l^2-l=(k^2-l^2)+(k-l)=
=(k-l)*(k+l+1)

По условию разность кратна 3^(10)
Это можно записать так:
(k-l)*(k+l+1)=3^(10)*m
k,l,m - натуральные
l < 100 < k

(k-l)*(k+l+1)=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*m
Слева произведение двух множителей
(k-l) и (k+l+1)
Справа произведение
3^(5) и 3^(5)*m;
3^(6) и 3^(4)*m
и так далее ( возможны разные комбинации)

Например,
k=102; l=99
k–l=3
значит
k+l=3^(9)·m, но 102+99+1 не кратно 3^(9)·m

k=101; l=98
k–l=3
k+l+1=101+98+1=200 не кратно 3^(9)*m

Если
k-l=3^(6)
то
k=l+729
k+l+1=l+729+l+1=2l+730=2*(l+365) должно быть кратно 3^(4)*m

l < 100
l+365 < 100+365=465
l+365=405 и 405 кратно 81
l=40
k=40+729=769

(k-l)*(k+l+1)=729*810 - кратно (3^6)*3^(5)=3^(10)

О т в е т. l+k=40+769=809