Задача 34901 ...
Условие
❤
Решение
[b]табличный интеграл:
∫ sin [b]u[/b]d [b]u[/b]= - cosu+C[/b]
∫ sin4xdx=[замена 4х=t ⇒ d(4x)=dt ⇒ 4dx=dt ⇒ dx=dt/4]=
∫ sint*(dt/4)=(1/4) ∫ sin [b] t[/b]d [b]t[/b]=(1/4)8(-cost)+C=(- 1/4)cos4x+c
Решение можно записать короче, если применить действие, называемое "подведением под дифференциал"
Все вычисления в квадратных скобках можно сделать устно
и
∫ sin4xdx=(1/4) ∫ sin4x*(4dx)=(1/4) ∫ sin [b]4x[/b] d( [b]4x[/b])=(-1/4)cos4x+C
1б)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b])=2sqrt(u) + C[/b]
∫ dx/sqrt(4x-8)=(1/4) ∫ d( [b]4x-8[/b])/sqrt( [b]4x-8[/b])=(1/4)*2sqrt(4x-8)
устно вычислила, что d(4x-8)=4dx
Разделила на 4 ( вынесла за знак интеграла) и умножила на 4
4dx заменила на d(4x-8)
1в)
[b]Табличный интеграл
∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C[/b]
Cвойства степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем, при делении - вычитаем.
a^(n)=1/a^(-n)
Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Постоянный множитель можно вносить за знак интеграла
=3 ∫ x^(4/3)dx - 4 ∫ x^((1/6)-1)dx+7 ∫ x^(-7)dx=
=3*x^((4/3)+1)/((4/3)+1) - 4* x^(1/6)-1+1)/(1/6) +7x^(-7+1)/(-7+1)+C=
= [b](9/7)*x^(7/3) -24x^(1/6)-(7/(6x^6)) + C[/b]
2a)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b])=2sqrt(u) + C[/b]
устно вычислила, что d(9x^2-15)=18x*dx
Разделила на 18 ( вынесла за знак интеграла) и умножила на 18
18xdx заменила на d(9x^2-15)
=(1/18) ∫ d(9x^2-15)/sqrt(9x^2-15)= [b](1/18)*2sqrt(9x^2-15)+С[/b]
2б)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/( [b]u[/b]^2-a^2)=(1/2a)*ln |(u-a)/(u+a)|+C[/b]
∫ dx/(2x^2-15)= ∫ dx/2*(x^2-(15/2))=(1/2) ∫ dx/(x^2-(15/2))=
=(1/2)* (1/2*sqrt(15/2))*ln |(x-sqrt(15/2))/(x+sqrt(15/2))| + C
= [b]1/(2*sqrt(30))ln |(sqrt(2)*x-sqrt(15))/(sqrt(2)*x+sqrt(15))| + C[/b]
2в)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b]^2± k)=ln |u+sqrt(u^2± k)|+C[/b]
u=5x
du=5dx
dx=du/5
∫ dx/sqrt(25x^2-7)= ∫ (du/5)/sqrt(u^2-7)=
=(1/5)ln|u+sqrt(u^2-7)|+C=
=(1/5)ln|5x+sqrt(25x^2-7)|+C
Ответ.(1/5)ln|5x+sqrt(25x^2-7)|+C или (1/5)ln|x+sqrt(x^2-(7/25))|+C
за счет свойств логарифма ( логарифм произведения равен сумме логарифмов) ответы равны с точностью до константы.
Остальные задания выставляйте
отдельно
4. Это громоздкое задание на метод интегрирования по частям
и отдельно
5. Интегрирование квадратного трехчлена: выделение полного квадрата и замена переменной
