Задача 42892 Решите...

vk86444764

2019-12-19 18:35:03

Решите неравенство

[m](\frac{2}{25x^2-10x-8}+\frac{25x^2-10x-8}{2})^2 \geq 4[/m]

sova

2019-12-19 19:05:50

★

25x^2-10x-8 ≠ 0

25x^2-10x-8=0
D=(-10)^2-4*25*(-8)=100+800=900
x_(1)=-0,4; x_(2)=0,8

Замена переменной:
[m]\frac{2}{25x^2-10x-8}=t[/m]
тогда
[m]\frac{25x^2-10x-8}{2}=\frac{1}{t}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m](t+\frac{1}{t})^2 ≥ 4[/m]

или

[m](t+\frac{1}{t})^2 -4 ≥ 0[/m]

Применяем формулу разности квадратов:

[m](t+\frac{1}{t} -2 )(t+\frac{1}{t}+2)≥ 0[/m]

[m]\frac{(t-1)^2(t+1)^2}{t^2}≥ 0[/m]

неравенство верно при любом t, кроме t=0

Значит
t ≠ 0

Обратный переход:
[m]\frac{2}{25x^2-10x-8} ≠ 0[/m]

Верно при любом х, х ≠- 0,4 и х ≠ 0,8

О т в е т.(- ∞ ;- 0,4)U(-0,4;0,8)U(0,8;+ ∞ )


Второй способ.

Возводим в квадрат

[m](\frac{2}{25x^2-10x-8})^2+2+(\frac{25x^2-10x-8}{2})^2 ≥ 4[/m]

[m](\frac{2}{25x^2-10x-8})^2-2+(\frac{25x^2-10x-8}{2})^2 ≥ 0[/m]

[m](\frac{2}{25x^2-10x-8}-\frac{25x^2-10x-8}{2})^2 ≥ 0[/m]

верно при любом х, кроме тех значений при которых знаменатель обращается в 0