Задача 10105 К двум окружностям, не имеющим общих...

slava191

24.09.2016

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В - точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.

б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.

SOVA

05.11.2016

★

a) По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
AB=AD (касательные к малой окружности из т. А)
FA=FE (касательные к большой окружности из точки А)
ВС=BF (касательные к большой окружности из точки В)
BT=BK (касательные к малой окружности из точки В)

Так как СТ=ED ( отрезки внутренних касательных), то
BF=AK
BF=BA+AF
AK=AB+BK,
значит
AF=BK

Проведем из точки N ( середины ОР) перпендикуляр к FK.
FQ=QK по теореме Фалеса.
FQ=FA+AQ=QB+BK=QK (FA=BK) значик AQ=QB
Q-серединный перпендикуляр к АВ и NA=NB
б)
Из подобия ОМ=10; МР=5
Значит треугольники ОЕМ и МТР - прямоугольные египетские.
Значит ЕМ=8; МТ=4.

AD=AЕ+8+4=AE+12
AK=AB+BK
AD=AK
AE=BK
Значит АВ=12
О т в е т. 12