Задача 33658 Разложить функцию в ряд Тейлора по...

neznaika01

2019-02-17 17:29:20

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х; в ответе записать первые три отличные от нуля элемента ряда y=(arcsin x)/(x-1)

sova

2019-02-17 17:57:03

Делить ряды сложно, а вот умножать можно как многочлен на многочлен...

Задача: свести деление к умножению.


Разложение arcsinx известно ( см. приложение)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
c |x| < 1
и есть разложение функции y=1/(1-x) в ряд

или

y=(1/(x-1)) * (-1)


y= (x+(x^3/6)+o(x^3))*(-1)*(1+x+x^2+x^3+o(x^3))=

=-x-(x^3/6)-x^2-(x^4/6)-x^3-(x^5/6)-x^4-(x^6/6)+o(x^6)=

=-x - x^2-(7/6)x^3 +o(x^3)

слагаемые это o(x^3)- бесконечно малые более высокого порядка,
чем x^3 ( т.е. стремящиеся к нулю, быстрее чем x^3)