Задача 35308 Помогите вычислить криволинейный...

svetlana_friend

2019-04-03 15:16:50

Помогите вычислить криволинейный интеграл, где L - ломанная, соединяющая точки:
(6*х*у^2+3*у^2)d*х+(6*х*у+4*х^3)*d*y
А(-3;2), В (-1;-3)

sova

2019-04-03 15:32:30

★

Ломаная АМNB
M(-3;0); N(-1;0)
Тогда интеграл по ломаной равен сумме интегралов по каждому звену
Звено АМ
x=-3
2≤ y ≤ 0
dx=0
∫_(AM) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(0) _(2)(6*(-3)y^2+3y^2)*0+6*(-3)y+4*(-3)^2)dy=

= ∫^(0) _(2)(6*(-3)y+4*(-3)^2)dy=(18y^2/2)|^(0)_(2) +(36y)|^(0)_(2)=

=(0-9*2^2)+36*0-36*2= [b]-108[/b]

Звено МN
y=0
-3≤ x≤ -1
dy=0

∫_(MN) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(-1) _(-3)(6*x*0^2+3*0^2)dx+(6*x*0+4*x^3)*0=

=0

Звено NB
x=-1
0≤ y≤ -2
dx=0

∫_(NB) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(-2) _(0)(6*(-1)*y^2+3*y^2)*0+(6*(-1)*y+4*(-1)^3)*dy=

=∫^(-2) _(0)(-6y-4)*dy=(-6y^2/2-4y)|^(-2)_(0)=

=-3*(-2)^2-4*(-2)=-12+8=-4

О т в е т. ∫ _(L)=∫_(AM)+ ∫_(MN) +∫_(NB)=-108+0-4= [b]-112[/b]