Задача 44449 sin2x+sqrt(3)(cosx-sinx) = 1,5; [-7Pi/2;...

slava191

22 февраля 2020 г. в 21:55

sin2x+√3(cosx–sinx) = 1,5; [–7π/2; –2π]

sova

22 февраля 2020 г. в 21:58

sin2x=2sinx·cosx

2·sinx·cosx+√3·cosx–√3·sinx=1,5

Умножаем на 2:

4·sinx·cosx+2·√3·cosx–2·√3·sinx=3;

4·sinx·cosx+2·√3·cosx–2·√3·sinx–3=0;

Группируем:

(4·sinx·cosx+2·√3·cosx)–(2·√3·sinx+3)=0;

2·cosx·(2·sinx+√3)–√3(2·sinx+√3)=0;

(2·sinx+√3)·(2·cosx–√3)=0

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0,
а другие при этом не теряют смысла.
(в данном уравнении оба множителя имеют смысл при любом х)

2·sinx+√3=0 ⇒ sinx=–√3/2

x=(–1)^k·(–π/3)+πk, k ∈ Z

x=(–π/3)+2πk, k ∈ Z или x=(–2π/3)+2πm, m ∈ Z

2·cosx–√3=0 ⇒ cosx=√3/2

x= ± (π/6) +2πn, n ∈ Z

б)

Запишем корни (–1)^k·(–π/3)+πk, k ∈ Z

в виде:

(–π/3)+2πm или x=(–2π/3)+2πm, m ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни при m=–1

–8π/3; –7π/3

x= ± (π/6) +2πn, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежит корень
– (π/6) –2π=–13π/6



О т в е т.
a)(–1)^k·(–π/3)+πk, ± (π/6) +2πn, k,n ∈ Z

б)
–8π/3; –7π/3; –13π/6