Задача 42948 Решите неравенство [m]3 <...

vk288952222

2019-12-20 20:33:26

Решите неравенство

[m]3 < \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1} < 6[/m]

sova

2019-12-20 21:59:47

Двойное неравенство равносильно системе:

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1} <6& \\ \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1} >3& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1}-6 <0 &\\ \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1}-3 >0& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{7x^2-5x+7-6x^2-6}{x^2+1}<0 &\\ \frac{7x^2-5x+7-3x^2-3}{x^2+1} >0& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{x^2-5x+1}{x^2+1}<0 &\\ \frac{4x^2-5x+4}{x^2+1} >0& \end{matrix}\right.[/m]


x^2+1 > 0 при любом х


[m]\left\{\begin{matrix}x^2-5x+1<0 &\\ 4x^2-5x+4 >0& \end{matrix}\right.[/m]

[red]x^2-5x+1=0 [/red]⇒ D=(-5)^2-4*1=21


x_(1)=[m]\frac{5-\sqrt{21}}{2}[/m]; x_(2)=[m]\frac{5+\sqrt{21}}{2}[/m];

Неравенство x^2-5x+1<0 верно при
[m]\frac{5-\sqrt{21}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{21}}{2} [/m]

[red]4x^2-5x+4=0 [/red]⇒ D=(-5)^2-4*4*4 < 0 уравнение не имеет корней,

Неравенство 4x^2-5x+4> 0 верно при любом х


[m]\left\{\begin{matrix}\frac{5-\sqrt{21}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{21}}{2} &\\-\infty<x<+\infty& \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. ([m]\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2} [/m])