Задача 22072 Решите уравнение log(sin(-x))...
Условие
Решение
ОДЗ:
{sin(-x) > 0 ⇒ -sinx > 0 ⇒ sinx < 0
{ sin(-x )≠ 1 ⇒ -sinx ≠ 1 ⇒ sinx ≠ -1
{sin(x/2)+sin(3x/2) > 0 ⇒ 2sin(x)(cosx/2) > 0
c учетом первого неравенства системы sinx < 0 ⇒
cosx/2 < 0 ⇒
(Pi/2)+2Pin < x/2 < (3Pi/2)+2PIn, n ∈ Z
⇒
(Pi)+4Pin < x < (3Pi)+4PIn, n ∈ Z
ОДЗ:
((Pi)+4Pin; (3Pi/2)+4PIn)U(3Pi/2)+4PIn; (2Pi)+4PIn)
По определению логарифма
sin(x/2)+sin(3x/2)=(-sinx)^(1)
2sin(x)(cosx/2)+sinx=0
sinx*(2cos(x/2) +1)=0
sinx=0 или 2 cos(x/2)+1=0
sinx=0 ⇒ x=Pim, m ∈ Z корни не принадлежат ОДЗ
2 cos(x/2)+1=0 ⇒
cos(x/2)=-1/2
(x/2)=± (2π/3)+2πk, k∈Z
x=± (4π/3)+4πk, k∈Z
x=- (4π/3)+4πk, k∈Z не принадлежат ОДЗ
(π+4πn) ___ ((3π/2)+4πn) ___(2π+4πn), n∈Z
О т в е т. x= (4π/3)+4πk, k∈Z