Задача 47403 ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ СРОЧНО ПЕРВОЕ ...
Условие
Решение
Это линейное первого порядка.
Решаем методом Бернулли
Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
[m]u`\cdot v+u\cdot v`+\frac{4x}{x^2+1}u\cdot v=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Группируем
[m]u`\cdot v+u\cdot( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Выбираем функцию v так,чтобы
[m]( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=0[/m]
Решаем уравнение с разделяющимися переменными
[m]\frac{dv}{v}=-\frac{4x}{x^2+1}dx[/m]
[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{4x}{x^2+1}dx[/m]
[m] ln|v|=-2ln|x^2+1|[/m] ⇒ [m]v=\frac{1}{(x^2+1)^2}[/m]
Тогда данное уравнение принимает вид
[m]u`\frac{1}{(x^2+1)^2}+u\cdot 0=\frac{3}{x^2+1}[/m]
[m]u=3(x^2+1)[/m]
[m]u=x^3+3x+C[/m]
[m]y=(x^3+3x+C)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]- общее решение
Чтобы найти частное, подставляем данные:
x=0; y=0
[m]0=C\cdot 1[/m]
[m]y=(x^3+3x)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]- частное решение