Задача 47403 Найти общее решение дифференциального...

vk306899767

16 апреля 2020 г. в 20:39

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

[m]\left(x^2 + 1\right) y' + 4xy = 3, \quad y(0) = 0[/m]

sova

16 апреля 2020 г. в 20:46

★

[m]y`+\frac{4x}{x^2+1}y=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Это линейное первого порядка.

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:

[m]u`\cdot v+u\cdot v`+\frac{4x}{x^2+1}u\cdot v=\frac{3}{x^2+1}[/m]


Группируем

[m]u`\cdot v+u\cdot( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Выбираем функцию v так,чтобы


[m]( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=0[/m]

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{dv}{v}=-\frac{4x}{x^2+1}dx[/m]

[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{4x}{x^2+1}dx[/m]

[m] ln|v|=-2ln|x^2+1|[/m] ⇒ [m]v=\frac{1}{(x^2+1)^2}[/m]

Тогда данное уравнение принимает вид

[m]u`\frac{1}{(x^2+1)^2}+u\cdot 0=\frac{3}{x^2+1}[/m]

[m]u=3(x^2+1)[/m]

[m]u=x^3+3x+C[/m]

[m]y=(x^3+3x+C)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]– общее решение

Чтобы найти частное, подставляем данные:

x=0; y=0

[m]0=C\cdot 1[/m]

[m]y=(x^3+3x)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]– частное решение