Задача 34157 ...

plusik10

4 марта 2019 г. в 10:58

1. ....
2. ∫ sin(1–x²)x dx
3. ∫ e^x dx / (4+e^2x)
...

sova

4 марта 2019 г. в 12:13

★

Тема. Интегрирование функций одной переменной.
Замена переменной. Подведение под дифференциал.

1.
Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Используем свойства степени:
a^m/aⁿ=a^m–n
a^–n=1/aⁿ

Применяем формулу интеграла от степенной функции:

∫ x ^α dx=x ^{α +1}/( α +1)

получаем
= ∫ x^2/5dx– ∫ x^–1/2dx+2 ∫ x^–5dx=

=x^(2/5)+1/((2/5)+1) – x^–1/2+1)/((–1/2)+1) +2·x^–5+1/(–5+1)+C=

=x^7/5 / (7/5) – 2x^1/2 –(1/2)·x^–4+C=

= (5/7)·x·x^2/5 – 2√x –1/(2x⁴) + C.

2.
Табличный интеграл
∫ sinudu = – cosu + C

Замена переменной
1–x²=u
–2xdx=du
xdx=(–1/2)du

получаем
∫ sinu(–1/2)du= (–1/2) ∫ sinudu=(–1/2)·(–cosu) + C=(1/2)cosu+C=
= обратная замена=
=(1/2)cos(1–x²)+ C

3.
Табличный интеграл
∫ du/(4+u²) = (1/2)arctg(u/2) + C

Замена переменной
e^x=u
e^xdx=du

получаем
∫ du/(4+u²) = (1/2)arctg(u/2) + C=
= обратная замена=
= (1/2)arctg (e^x/2)+ C

4.
Табличный интеграл
∫ e^udu = e^u + C

Замена переменной
x³+3x+1=u
d(x²+3x+1)=du
(x³+3x+1)`dx=du
(3x+3)dx=du
(x+1)dx=du/3

получаем
∫ e^u·(du/3) = (1/3)∫ e^udu = (1/3)e^u+C
= обратная замена=
= (1/3)e^x3+3x2+1+ C

5.
Замена переменной
1+x=t
x=t–1
dx=d(t–1)
dx=(t–1)`·dt
dx=1·dt
dx=dt

получаем
∫(t–1)³dt/t⁸=
формула куба разности:
= ∫ (t³–3t²+3t–1)/t⁸=
почленное деление каждого слагаемого в числителе на знаменатель:
= ∫ (t³/t⁸ –3·(t²/t⁸)+3·(t/t⁸)–(1/t⁸))dt=

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
постоянный множитель можно вынести за знак производной.

= ∫ dt/t⁵ –3 ∫ dt/t⁶+3 ∫ dt/t⁷ – ∫ dt/t⁸=
Используем свойства степени:
a^–n=1/aⁿ

= ∫ t^–5dt – 3 ∫ t^–6dt +3 ∫ t^–7dt – ∫ t^–8dt=

Применяем формулу интеграла от степенной функции:

∫ x ^α dx=x ^{α +1}/( α +1)

=t^–4/(–4) – 3·(t^–5/(–5)) +3·(t^–6/(–6)) – t^–7/(–7)+C=

=(–1/4)·(1/t⁴) +(3/5)·(1/t⁵)–2·(1/t⁶) +(1/7)·(1/t⁷)+C=

= обратная замена=

=–1/(4·(x+1)⁴) + 3/(5·(x+1)⁵)–(2/(x+1)⁶) +(1/7(x+1)⁷)+C