Задача 39245 sin(Pi/3 - 2x) = -2cos^2(Pi/12 + x)-1,...

slava191

2019-09-08 11:53:19

sin(Pi/3 - 2x) = -2cos^2(Pi/12 + x)-1, [Pi/2; 7Pi/2]

Ларин-13, 278

sova

2019-09-08 12:27:44

★

По формуле:
2cos^2 α =1+cos2 α
поэтому

[m]2cos^2(\frac{\pi }{12}+x)=1+cos2\cdot(\frac{\pi }{12}+x)=1+cos(\frac{\pi }{6}+2x)[/m]

По формулам приведения
[m]sin\alpha =cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )[/m]
поэтому
[m]sin(\frac{\pi }{3}-2x)=cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+2x)=cos(\frac{\pi }{6}+2x)[/m]

Уравнение:

[m]cos(\frac{\pi }{6}+2x)=-2-2cos(\frac{\pi }{6}+2x)-1[/m]

[m]3cos(\frac{\pi }{6}+2x)=-3[/m]

[m]cos(\frac{\pi }{6}+2x)=-1[/m]

[m]\frac{\pi}{6}+2x=-\pi +2\pi n, n\in Z[/m]

[m]2x=-\pi-\frac{\pi }{6} +2\pi n, n\in Z[/m]

[m]2x=-\frac{7\pi }{6}+2\pi n, n\in Z[/m]

[red][m]x=-\frac{7\pi }{12}+\pi n, n\in Z[/m][/red]

о т в е т можно записать и так:

[red][m]x=\frac{5\pi }{12}+\pi k, k\in Z[/m][/red]

Указанному отрезку принадлежат корни:
[m]x_{1}=\frac{5\pi }{12}+\pi =\frac{17\pi }{12}[/m]

[m]x_{2}=\frac{5\pi }{12}+2\pi=\frac{29\pi }{12}[/m]

[m]x_{3}=\frac{5\pi }{12}+3\pi =\frac{41\pi }{12} [/m]