Задача 41794 В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 18...

vk360305247

21 ноября 2019 г. в 19:48

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 18 требуется найти расстояние между прямыми: a) A1C и D1A; б) B1А и ВD.

sova

21 ноября 2019 г. в 20:25

★

Хорошая задача по теме расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно:

1. через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой.

2. Из любой точки первой прямой опустить перпендикуляр на плоскость и найти его длину.

Первый способ –геометрический
Второй способ – аналитический ( с помощью формулы расстояния от точки до плоскости)

а)
Первый способ –геометрический
На рис. 1 куб и скрещивающиеся прямые AD₁ и А₁С ,
расстояние между которыми требуется найти.

Строим плоскость, проходящую через А₁С|| AD₁.

Проводим MK₁
M– cередина АВ
К– середина DC
M₁ – cередина А₁В₁
К₁ – середина D₁C₁

MK₁ || AD₁ ⇒ пл. МА₁К₁С || AD₁

P– cередина AD₁

Из точки Р проводим PO || AM

Δ D₁PO – прямоугольный.
так как АМ ⊥ пл. АА₁D₁D ⇒ AM ⊥ AD₁
PO|| AM, значит

PO⊥ AD₁

Высота PT прямоугольного треугольника Δ D₁PO

и есть искомое расстояние.

Как его найти?

По методу площадей.
S_{прямоугольного треуг}=a·b/2 и S_{прямоугольного треуг}=с·h/2

a·b=c·h

h=a·b/c

a=PD₁=9√2

b=PO=9

c=√PO²+PD²₁=9√3

h=PT=9·9√2/9√3=3√6


Второй способ

Размещаем куб в системе координат как показано на рисунке.

Составляем уравнение плоскости МА₁К₁С как плоскости, проходящей через точки:
M(18;9;0)
A₁(18;0;18)
C(0;18;0)

[m]\begin{vmatrix} x-18 & y-9 &z \\ 0 &-9 &18 \\ -18& 9 & 0 \end{vmatrix}=0[/m]

–18·18·(y–9)–18·9·z–18·9·(x–18)=0

x+2y+z–36=0

Расстояние от точки P (9;0;9) до пл.x+2y+z–36=0

[m]d=\frac{|9+2\cdot 0+9-36|}{\sqrt(1^2+2^2+1^2)}=\frac{18\sqrt{6}}{6}=3\sqrt{6}[/m]

d=3√6


О т в е т ы одинаковые: 3√6