Задача 10796 Вневписанная в треугольник АВС...

slava191

24.10.2016

Вневписанная в треугольник АВС окружность касается его боковой стороны и продолжения основания АС.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треугольника АВС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 4, а АС*АВ = 30.

SOVA

25.10.2016

★

Вневписанная окружность - окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Центр этой окружности - точка пересечения биссектрис внешних углов.
При этом треугольник - произвольный.
В условии задачи речь идет об основании и боковой стороне. Значит, треугольник АВС - равнобедренный.
АВ=ВС.
Тогда высота ВН- равнобедренного треугольника АВС является и биссектрисой угла В, поэтому биссектрисы смежных углов ОВ и ВН - взаимно перпендикулярны.
Четырехугольник ОМВН - прямоугольник.
ВН=ОМ

б) Радиус окружности равен 4, значит по доказанному в а) ВН=4
и по условию АС·АВ = 30.
Так как треугольник АВС - равнобедренный,
АС=2АН.
Тогда условие принимает вид:
АС·АВ=АB·2АН;
АB·2АН=30;
АB·АН=15 ⇒ АB=15/AH.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВН:
АВ^2=АН^2+ВН^2
(15/AH)^2=AH^2+4^2
Биквадратное уравнение
АН^4+16AH^2-225=0
D=16^2+4·225=256+900=1156=34^2
AH^2=(-16+34)/2=9
AH=3
S(Δ АВС)=АС·ВН/2=(AC/2)·ВН=AH·ВН=3·4=12
О т в е т. 12