Задача 22307 Дана последовательность $$y_n=n(n+1)$$....

u6217613182

13 января 2018 г.

Дана последовательность $$y_n=n(n+1)$$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $$k$$ и $$l$$ ($$l < 115 < k$$) делится на $$3^{11}$$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $$l+k$$.

SOVA

13 января 2018 г.

★

yk–yl=k·(k+1)–l·(l+1)=k2+k–l2–l=(k2–l2)+(k–l)=
=(k–l)·(k+l+1)

По условию разность кратна 3¹¹
Это можно записать так:
(k–l)·(k+l+1)=3¹¹·m
k,l,m – натуральные
l < 115 < k

(k–l)·(k+l+1)=3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·m
Слева произведение двух множителей
(k–l) и (k+l+1)
Справа произведение
3 и 3¹⁰·m или 3·m и 3¹⁰;
3² и 3⁹·m или 3²·m и 3⁹;
3³ и 3⁸·m или 3³·m и 3⁸;

и так далее.

Если
k–l=3⁷
то
k=l+729
k+l+1=l+729+l+1=2l+730=2·(l+365) должно быть кратно 3⁴·m

l < 125
l+365 < 125+365=490
l+365=405 и 405 кратно 81
l=40
k=40+729=769

(k–l)·(k+l+1)=729·810 – кратно (3⁶)·3⁵=3¹1

О т в е т. l+k=40+769=809