Задача 32793 1) [m] 2 \log_{\left( {4 x - x^2 -...

vk147847869

18 января 2019 г. в 13:27

1) [m] 2 \log_{\left( {4 x - x^2 - 5}^{2} \right)} \left( {4 x^2 + 1} \right) \leq \log_{\left(x^2 - 4 x + 5 \right)} \left( {3 x^2 + 4 x + 1} \right) [/m]

3) [m] \log_{0.5}^{2} \left( {4 x} \right) \cdot \log_{0.25} \left( {0.25 x} \right)^2 \leq \log_{0.5} 5 \cdot \log_5 \frac{x}{4} [/m]

sova

18 января 2019 г. в 18:36

1.
2log_{(4x–x²–5)²}(4x²+1) ≤ log_x²–4x+5(3x²+4x+1);

(4x–x²–5)²=(x²–4x+5)²

и по свойству логарифма:

log_b²a=(1/2)log_ba, a>0; b> 0, получаем неравенство

log_x²–4x+5(4x²+1) ≤ log_x²–4x+5(3x²+4x+1);

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(cм. таблицу)
(можно конечно рассматривать совокупность двух систем
в 2–х случаях
а) когда логарифмическая функция возрастает, основание >1 ;
б) когда логарифмическая функция убывает

{x²–4x+5>0;
{x²–4x+5 ≠ 1;
{4x²+1>0
{3x²+4x+1> 0
{(x²–4x+5–1)(4x²+1–3x²–4x–1) ≤ 0

{неравенство верно при любом х;
{x ≠ 2
{неравенство верно при любом х;
{D=16–4·3·1=4, корни (–1) и (–1/3) ⇒ x < –1 или х > (–1/3)
{(x–2)²·(x²–4x) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 4
О т в е т. [0;2)U(2;4]

3.
ОДЗ:
x > 0

При х>0
log_0,5(4x)=log_0,54+log_0,5x=–2+log_0,5x

log²_0,5(4x)= (–2+log_0,5x)²=4–4log_0,5x+log²_0,5x

log_0,25(0,25x)²=log_0,5²(0,25x)²=log_0,5(0,25x)=
=log_0,5(0,25)+log_0,5x=2+log_0,5x

log_0,55·log₅(x/4)=log_0,5(x/4)=log_0,5x–log_0,54=
=log_0,5x+2

получаем неравенство
(4–4log_0,5x+log²_0,5x)·(2+log_0,5x) ≤ (2+log_0,5x)
(4–4log_0,5x+log²_0,5x)·(2+log_0,5x) – (2+log_0,5x) ≤ 0

(2+log_0,5x) · ( 4 – 4 log_0,5x+log²_0,5x – 1 ) ≤ 0

(t+2)·(t²–4t+3) ≤ 0

__–__ (–2) __+__ [1] ___–___ [3] ___+___

t < – 2 или 1 ≤ t ≤ 3

log_0,5x < –2 или 1 ≤ log_0,5x ≤ 3
0,5 < 1
логарифмическая функция убывает
x > 4 или 1/8 ≤ х ≤ 1/2

О т в е т. [1/8;1/2]U (4;+ ∞ )