Задача 10555 Точки P, Q, W делят стороны выпуклого...

vk159959192

15.10.2016

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольник ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4; радиус описанной окружности около треугольника PQW равен 10, PQ=16, QW=12.

а) Доказать, что треугольник PQW-прямоугольный.

б) Найти площадь ABCD.

SOVA

16.10.2016

★

По теореме синусов из треугольника PQW:
PQ/sin∠W=2R ⇒ sin∠W=PQ/2R=16/20=4/5;
QW/sin∠P=2R ⇒ sin∠P=QW/2R=12/20=3/5.

sin^2∠W+sin^2∠P=(4/5)^2+(3/5)^2=1
Значит, ∠W+∠P=90° и
∠Q=90°. Треугольник PQW–прямоугольный.

б) Из подобия треугольников ВСD и QCW
BD:12=7:3.
BD=28
Из подобия треугольников AВС и PBQ
AC:16=7:4
AC=28
S(ABCD)=BD•AC/2=28•28/2=392 кв. ед.