Задача 47229 ...

annyanne

15 апреля 2020 г. в 18:08

9.3.22.
{ x = 8 cos³ t,
{ y = 8 sin³ t, x = 1 (x ≥ 1).

sova

15 апреля 2020 г. в 18:53

Находим точки пересечения

8cos³t=1 ⇒ cost=1/2 ⇒ t₁=–π/3; t₂=π/3

dx=8·3cos²t·(cost)`dt=–24cos²t·sint dt

S= ∫ t2t1y(t)x`(t)dt=

= ∫^π/3_–π/38·sin³t·(–24cos²t)·sint dt=


=–192 ∫^π/3_–π/3 sin⁴t·cos²tdt=

понижаем степень:

=–192 ∫^π/3_–π/3[m](\frac{1-cos2t}{2})^2\cdot \frac{1+cos2t}{2}[/m]dt=


=–24 ∫^π/3_–π/3(1–cos²2t–cos2t+cos³2t)dt=

cos³2t=cos²2t·cos2t=(1–sin²2t)·cos2t и раз понижаем четную степень:

=–24 ∫^π/3_–π/3(1–[m]\frac{1+cos4t}{2}[/m]–cos2t+cos2t–sin²2t·cos2t)dt=

=–24 ∫^π/3_–π/3([m]\frac{1}{2}-\frac{cos4t}{2}[/m]–sin²2t·cos2t)dt=

=–24·([m]\frac{1}{2}t-\frac{sin4t}{8}-\frac{1}{2}\cdot \frac{sin^32t}{3}[/m])|^π/3_–π/3=


пределы–то подставите? самостоятельно....