Задача 44395 Логарифмическое дифференцирование. Найти...

ururirieu

2020-02-20 09:01:37

Логарифмическое дифференцирование. Найти производную

sova

2020-02-20 15:38:11

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной показательно степенной функции вида

y=u(x)^(v(x))

Такие функции на втором листочке.

1.
y=(3+x)^(sin5x)

u(x)=3+x
v(x)=sin5x

Логарифмируем:
lny=ln(3+x)^(sin5x)

Применяем свойство логарифма степени: показатель выносим перед логарифмом основания

lny= (sin5x)*ln(x+3)

Логарифмируем равенство.

Cлева:
(lnx)`=1/x
по правилу производной сложной функции
(lny)`=y`/y

Справа:
применяем правило нахождения производной произведения:

y`/y = (sin5x)`*ln(x+3)+(sin5x)*(ln(x+3))`

y`/y=cos5x*(5x)`*ln(x+3)+(sin5x)*(1/(x+3))*(x+3)`

y`=y*(5*ln(x+3)cos5x+(sin5x)/(x+3))

Вместо y подставляем функцию

О т в е т. y=(3+x)^(sin5x) * (5*ln(x+3)cos5x+(sin5x)/(x+3))

2,3,4 решаются аналогично.

5.

Логарифмируем:

lny=2ln(5x^3+4)+(3/7)ln(x^2+2x)-4ln(3x-15)


y`/y=2*(15x^2/(5x^3+4))+(3/7)*(2x+2)/(x^2+2x) - 4 *(3/3x-15)


Можно выражение справа упростить.

Умножив на y, получим ответ

vk201218220

2020-02-20 18:12:44

Посмотрите подобную задачу и попробуйте сделать по аналогии
[youtube=https://youtu.be/USc7YHyMTUI]