Задача 17739 |x-2|-x|x| < 0...
Условие
Решение
Можно по определению, тогда придется рассмотреть 4 случая:
оба подмодульных выражения положительны,
оба отрицательны,
одно положительное, второе отрицательное и наоборот.
Можно применить метод интервалов.
Первое подмодульное выражение меняет знак в точке х=2, второе в точке х=0.
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
Раскрываем модули на каждом из них:
1)
(- бесконечность;0)
При любом х ∈ (- бесконечность;0)
x-2 < 0, значит |x-2|=-x+2
x < 0, значит |x|=-x
Неравенство принимает вид
-х+2-х*(-х) < 0
2 < 0 - неверно
Неравенство не имеет решений на (- бесконечность;0)
2)
[0;2)
При любом х ∈ [0;2)
x-2 < 0, значит |x-2|=-x+2
x больше или равно 0, значит |x|=x
Неравенство принимает вид
-х+2-х*х < 0
-2х+2 < 0
-2х < -2
x > 1
C учетом того, что х ∈ [0;2)
Неравенство имеет решение (1;2)
3)
[2; +бесконечность)
При любом х ∈ [2; +бесконечность)
x-2 больше или равно 0, значит |x-2|=x-2
x больше или равно 2 > 0, значит |x|=x
Неравенство принимает вид
х-2-х*х < 0
-2 < 0 - верно при любом х ∈ [2; +бесконечность)
[2; +бесконечность)- решение неравенства в этом случае.
О т в е т. (1;2)U[2;+ бесконечность )=(1;+ бесконечность )