Задача 43204 Исследовать функцию и построить график...

vk72207933

29 декабря 2019 г. в 18:28

Исследовать функцию и построить график y=1/(x⁴–1)

sova

29 декабря 2019 г. в 19:57

Область определения
x⁴–1 ≠ 0 ⇒ (x²–1)(x²+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

Прямые x= ± 1 – вертикальные асимптоты, так как

lim_{x → 1–0}f(x)= – ∞ и lim_{x → 1+0}f(x)= +∞

и
lim_{x → –1–0}f(x)= +∞ и lim_{x → –1+0}f(x)= –∞

Прямая y=0 – горизонтальная асимптота, так как
lim_{x → ∞} f(x) = 0

Функция четная, [m]y(-x)=\frac{1}{(-x)^4-1}=\frac{1}{x^4-1}=y(x)[/m]

График симметричен относительно оси Оу

y`=–(1/(x<sup>4</sup>–1)<sup>2</sup>)·(x<sup>4</sup>–1)`= (– 4x³)/(x⁴–1)²

y`>0 при x ∈ (– ∞ ;–1)и при х ∈ (–1;0)

функция возрастает на (– ∞ ;–1) и на (–1;0)

y`<0 при x ∈ (0 ;1) и при х ∈ (1;+ ∞ )

Функция убывает на (0 ;1) и на (1;+ ∞ )