Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 9604 В июле взят кредит на 8,8 млн руб на...

Условие

В июле взят кредит на 8,8 млн руб на несколько лет. В начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года. До 1 июля каждого года клиент должен вернуть часть долга таким образом, чтобы по состоянию на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму. Последняя выплата составляет 1 млн руб. Найти общую сумму выплат банку.

математика 10-11 класс 2021

Решение

Пусть в банке берут А рублей, r% – процентная ставка, n–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/n,
Выплаты процентов составят:
за первый год 0,01•r•А (т.к. кредит взят на n лет и сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй год 0,01• r•(А–А/n)=0,01•r•A•(n–1)/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на 1/n)

за n–ый год 0,01•r•A•(n–(n–1))/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на (1/n) •(n–1)=(n–1)/n.
Это и будет последняя выплата.
Тогда за n лет придется вернуть всю взятую сумму
n •(А/n)=A
и проценты, т.е.

0,01•r•А+0,01•r•A•(n–1)/n+…+0,01•r•A•(n–(n–1))/n=0,01r•А(1+((n–1)/n)+((n–2)/n)+… (1/n))
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму n слагаемых от 1 до n по формуле суммы арифметической прогрессии.

В условиях данной задачи:А=8,8 млн. руб.; кредит взят на n лет.
25% от 8.8 млн рублей это 0,25·8,8=2,2 млн. руб
На 1 ЯНВАРЯ следующего долг составит 1,25·8,8=11млн. руб.
До 1 июля происходит выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину
Выплачиваем сумму кредита, разделенную на n лет выплат и проценты за год, т.е. выплата составит ((8,8/n)+2,2 ) млн. руб.
После чего сумма долга составит
11–((8,8/n)+2,2 )=(8,8–(8,8/n)) млн. руб
На 1 января долг вновь вырастет на 25% и составит 1,25· (8,8–(8,8/n)) млн. руб.
До 1 июля происходит выплата.
Выплачиваем (8,8/n) млн. руб. и проценты за второй год,
т.е. выплата составит ((8,8/n)+(0,25·(8,8 – (8,8)/n ) )млн. руб.
третий год
выплачиваем (8,8/n + 0,25·(8,8– (8,8/n)–(8,8/n))= (8,8/n) + 0,25·(8,8–2· (8,8/n))
.........
За последний год
(8,8/n) + 0,25·(8,8 –(n–1)· (8,8/n))=8,8/n+0,25·(8,8/n)– это и есть последняя сумма выплат.
1,25·(8,8/n) млн.=1 млн.
11/n=1
n=11

Общая сумма выплат равна
(8,8/11)·11 +0,25·8,8(1+1/11+2/11+3/11+...+10/11)=8,8+2,2·(1+2+3+4+...+11)/11=
=8,8+2,2·6=8,8+13,2=22 млн. руб.
О т в е т. 22 млн. руб.

Сумму кредита 8,8:11=0,8 млн руб должны выплачивать каждый год.
Плюс проценты.
За первый год со всей суммы в 8,8 млн. Процент составит 2,2 млн. рублей.
За второй год, процент считаем не со всей суммы, а с учетом выплаченных 0,8 млн.
Получаем 0,25·(8,8–0,8)=2 млн.
За третий год
0,25·(8,8–2·0,8)=1,8 млн.
За четвертый год
0,25·(8,8–3·0,8)=1,6.
и т д.
Общая сумм выплат 8,8+13,2=22 млн. руб. состоит из
суммы взятого кредита 8,8 млн. руб
и процентов
2,2+2+1,8+1,6+1,4+1,2+1+0,8+0,6+0,4+0,2=13,3 млн. руб.

Вот такая схема и удовлетворяет условию, каждый раз долг должен быть на одну и ту же сумму меньше. А именно на проценты с выплаченной суммы 0,25·0,8=0,2.
Сравните 2,2; 2; 1,8; 1,6 и т.д.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК