Задача 22786 1 + cosx + tg(x/2) = 0 на отрезке [100,...
Условие
Решение
Уравнение примет вид
2cos^2(x/2)+(sin(x/2)/cos(x/2))=0
Приводим к общему знаменателю:
(2cos^3(x/2)+sin(x/2))/(cos(x/2)) =0
{2cos^3(x/2)+sin(x/2)=0
{cos(x/2) ≠ 0 ⇒ (x/2) ≠ Pi/2+2Pik, k ∈ Z ⇒x ≠ Pi+4Pik, k ∈ Z
Решаем первое уравнение.
2cos^3(x/2)+sin(x/2)=0- однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, 1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)
2cos^3(x/2)+sin(x/2)*(sin^2(x/2)+cos^2(x/2))=0
Делим на cos^3(x/2)
tg^3(x/2)+tg(x/2)+2=0
(tg(x/2)+1)(tg^2(x/2)-tg(x/2)+2)=0
tg(x/2)+1=0 или tg^2(x/2)-tg(x/2)+2=0 не имеет корней, D < 0
tg(x/2)=-1
(x/2)=(-Pi/4)+Pik, k ∈Z
x=- Pi/2+2Pik, k ∈ Z
О т в е т. - Pi/2+2Pik, k ∈ Z
На вопрос, какие корни принадлежат отрезку ответить не могу, так как не написано в каких единицах измерения указан отрезок.
Скорее всего в градусах
270 градусов и 630 градусов - корни, принадлежащие отрезку [100 градусов; 700 градусов]
В радианах
100 < - Pi/2+2Pik < 700, k ∈ Z
100+(Pi/2) < 2Pik < 700 + (Pi/2)
50+(Pi/4) < Pik < 350+(Pi/4)
k=17; k=18; ... k=110; k=111
95 корней